广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷

更新时间：2022-09-30 浏览次数：60 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 1 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图所示的三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 27π C . 54π D . 108π

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5. 把函数 $\text{[math]}$ 的图像上所有的点向左平行移动 $\text{[math]}$ 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对一切 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是等差数列 B . $\text{[math]}$ 是等比数列 C . $\text{[math]}$ 是等比数列 D . $\text{[math]}$ 是等比数列

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为1 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上两点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴两侧，则（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 经过原点，则四边形 $\text{[math]}$ 为矩形 B . 四边形 $\text{[math]}$ 的周长为20 C . $\text{[math]}$ 的面积的最大值为12 D . 若直线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最大距离为8

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11. 直六棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面是边长为2的正六边形，侧棱 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心，则（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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12. 已知直线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的曲线 $\text{[math]}$ 所对应的函数为 $\text{[math]}$ ，则以下说法正确的是（）

A . 不论 $\text{[math]}$ 为何值，直线 $\text{[math]}$ 恒过定点 $\text{[math]}$ ； B . $\text{[math]}$ ； C . 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ ； D . 若直线 $\text{[math]}$ 上有两个关于直线 $\text{[math]}$ 对称的点在曲线 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ .

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为．

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14. 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为．

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15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
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18. 已知锐角 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对边为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. 如图所示，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值．
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20. 甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）设甲以3：1获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）记（1）中， $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的值，用 $\text{[math]}$ 表示甲、乙两人比赛的局数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ．
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21. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上一点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ 与2的大小；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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