安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期数学开学考...

更新时间：2022-09-30 浏览次数：53 类型：开学考试

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（）

A . 14 B . 18 C . 30 D . 36

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 当圆 $\text{[math]}$ 截直线 $\text{[math]}$ 所得的弦长最短时，实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . -1

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8. 设正项等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项乘积为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的（）

A . 最大值为 32 B . 最大值为 1024 C . 最小值为 $\text{[math]}$ D . 最小值为 $\text{[math]}$

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9. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的倾斜角 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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10. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 与此双曲线的一个公共点，则 $\text{[math]}$ 的面积（）

A . 有最大值4 B . 有最小值2 C . 为 $\text{[math]}$ D . 为 $\text{[math]}$

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11. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象恒在函数 $\text{[math]}$ 的图象上方(无公共点)，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则实数 $\text{[math]}$ .

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14. 已知甲盒装有3个红球， $\text{[math]}$ 个白球，乙盒装有3个红球， 1个白球，丙盒装有2个红球， 2个白球，这些球除颜色以外完全相同. 先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 有下列命题：
①函数 $\text{[math]}$ 在定义域内是增函数；
②函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ；
③直线 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 图像的一条对称轴；
④函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ .
其中所有正确命题的序号为.

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16. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 已知锐角 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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19. 为了促进落实“科技助农”服务，某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛，先进行选拔赛. 选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛，答对3题者进入正赛，答错3题者则被淘汰. 设选手甲答对每个题的概率均为 $\text{[math]}$ ，且答每个题互不影响.
1. （1）求选手甲进入正赛的概率；
2. （2）设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
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20. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等边三角形，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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22. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 轴.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 及椭圆 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程
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