广东省2023届高三上学期数学第一次联考试卷

更新时间：2022-08-18 浏览次数：84 类型：开学考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调函数，且满足对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 3 B . 7 C . 9 D . 12

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3. 已知 $\text{[math]}$ 则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2017高二上·集宁月考) 在数列 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ ＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心为O，则下列结论中
① $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ₁+ $\text{[math]}$ ₁是一对相反向量；② $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ₁与 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ₁是一对相反向量；③ $\text{[math]}$ ₁+ $\text{[math]}$ ₁+ $\text{[math]}$ ₁+ $\text{[math]}$ ₁与 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是一对相反向量；④ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ₁- $\text{[math]}$ ₁是一对相反向量．
正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. “k<2”是“方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处与直线 $\text{[math]}$ 相切，则函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为（）

A . -1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . 1

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8. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（）

A . 该人第五天走的路程为12里 B . 该人第三天走的路程为42里 C . 该人前三天共走的路程为330里 D . 该人最后三天共走的路程为42里

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11. 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是两个不共线向量，关于向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不可能共线 B . 当 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可能出现共线情况 C . 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为单位向量，则当 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可能出现垂直情况 D . 当 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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15. 一只红铃虫产卵数 $\text{[math]}$ 和温度 $\text{[math]}$ 有关，现测得一组数据 $\text{[math]}$ ，可用模型 $\text{[math]}$ 拟合，设 $\text{[math]}$ ，其变换后的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为自然常数，则 $\text{[math]}$ .

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16.
已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ )的取值范围．
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是棱PA的中点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 某寻宝游戏的棋盘路线图上，依次标有起点､第1站､第2站､…､第20站，选手通过抛掷均匀硬币，从起点（不同于第1站）依序向第1站､第2站､…､第20站前进：若掷出正面，棋子从所在站点前进到下1站停留；若掷出反面，棋子则从所在站点连续前进2站停留，直到到达第19站或第20站，游戏结束，设游戏过程中棋子停留在第 $\text{[math]}$ 站的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）从游戏开始计算，若抛掷均匀硬币3次后棋子停留在第X站，求X的分布列与数学期望；
2. （2）甲､乙两人约定：由裁判员通过不断抛掷硬币，让棋子从起点出发，并按上述规则依序前进，直到游戏结束.若棋子最终停留性第19站，则甲选手获胜；若棋子最终停留在第20站，则乙选手获胜.试分析这个约定对甲､乙两人是否公平.
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20. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若集合 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 中的所有元素按从小到大顺序排列，构成数列 $\text{[math]}$ .设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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21. 如图，椭圆E： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于A､B两点，且△ $\text{[math]}$ 的周长为8.
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）设动直线l： $\text{[math]}$ 与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线 $\text{[math]}$ 相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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