2022年高考数学真题试卷（北京卷）

更新时间：2022-06-10 浏览次数：355 类型：高考真卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 5 C . 7 D . 25

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3. 若直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . -1

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则对任意实数 $\text{[math]}$ ，有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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6. 设 $\text{[math]}$ 是公差不为0的无穷等差数列，则“ $\text{[math]}$ 为递增数列”是“存在正整数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，其中 $\text{[math]}$ 表示温度，单位是 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，二氧化碳处于液态 B . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，二氧化碳处于气态 C . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，二氧化碳处于超临界状态 D . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，二氧化碳处于超临界状态

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8. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 40 B . 41 C . -40 D . -41

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9. 已知正三棱锥 $\text{[math]}$ 的六条棱长均为6， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 及其内部的点构成的集合，设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示的区域的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在平面内的动点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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12. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 若函数 $\text{[math]}$ 的一个零点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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14. 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在最小值，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为； $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 的第2项小于3； ② $\text{[math]}$ 为等比数列；

③ $\text{[math]}$ 为递减数列； ④ $\text{[math]}$ 中存在小于 $\text{[math]}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题共6小题，共85分。

16. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
（I）求 $\text{[math]}$ ：

（II）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

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17. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（I）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值。

条件①： $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

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18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；

乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；

丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程：

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值。

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

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21. 已知 $\text{[math]}$ 为有穷整数数列．给定正整数 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 $\text{[math]}$ 是否为5-连续可表数列？是否为 $\text{[math]}$ 连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列，求证： $\text{[math]}$ 的最小值为4；

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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