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上海市杨浦区2022届高三数学二模试卷

更新时间：2022-05-09 浏览次数：110 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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2. 函数 $\text{[math]}$ 的反函数为.

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3. 若直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互相垂直，则实数 $\text{[math]}$ .

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4. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 虚数单位）是实系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根，则 $\text{[math]}$ .

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则行列式 $\text{[math]}$ 的值等于.

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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7. (2020·盐城模拟) 在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于.

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8. 已知实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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9. 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 展开式中各项系数的和等于 $\text{[math]}$ ，则展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是.

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10. 三行三列的方阵 $\text{[math]}$ 中有9个数 $\text{[math]}$ ，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是． (结果用分数表示)

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，点P关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则直线l的方程为.

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12. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内既没有最大值 $\text{[math]}$ ，也没有最小值-1，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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二、单选题

13. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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14. 数列{ $\text{[math]}$ }为等差数列， $\text{[math]}$ 且公差 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是等差数列，则其公差为（）

A . 1gd B . 1g2d C . lg $\text{[math]}$ D . 1g $\text{[math]}$

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15. 椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P在C上（P不与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）且直线 $\text{[math]}$ 的斜率的取值范围是 $\text{[math]}$ ，那么直线 $\text{[math]}$ 斜率的取值范围是（）

A . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] B . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [ $\text{[math]}$ ， 1] D . [ $\text{[math]}$ ， 1]

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16. 定义域是 $\text{[math]}$ 上的连续函数 $\text{[math]}$ 图像的两个端点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是图像 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 可以重合），我们称 $\text{[math]}$ 的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是 $\text{[math]}$ 上的函数中，曲径最小的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使 $\text{[math]}$ ，连结PE.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求该圆锥的体积；
2. （2）求异面直线PE、BD所成角的大小.
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集是 $\text{[math]}$ ，求m的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且仅有一个零点，求m的取值范围.
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19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R， $\text{[math]}$ ，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN
1. （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；
2. （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）若椭圆短轴长为2 $\text{[math]}$ 且经过点（－1， $\text{[math]}$ ），求椭圆方程；
2. （2）对（1）中的椭圆，若 $\text{[math]}$ ，求△OPQ面积的最大值；
3. （3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.
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21. 已知a为实数，数列{ $\text{[math]}$ }满足：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ .若存在一个非零常数 $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都成立，则称数列{ $\text{[math]}$ }为周期数列.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求证：存在正整数n，使得 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 是数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{ $\text{[math]}$ }为周期数列；②存在正奇数k，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.
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