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北京市房山区2022届高三数学一模试卷

更新时间：2022-04-18 浏览次数：49 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合A={－2，－1，0，1，2}， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {－2，－1，0，1，2} B . {－1，0，1} C . {－2，2} D . {0，1}

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，－1），则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 3 C . 5－4i D . 3－4i

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3. 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为－20，则a=（）

A . 2 B . －2 C . 1 D . －1

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5. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 到抛物线的焦点的距离为4，到 $\text{[math]}$ 轴的距离为3，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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6. 数列 $\text{[math]}$ 是等差数列，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 9 C . 10 D . 20

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7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为 $\text{[math]}$ ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量，则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（）

A . 2600 B . 2700 C . 2 D . 27

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为奇函数”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 已知直线l被圆C： $\text{[math]}$ 所截的弦长不小于2，则下列曲线中与直线l一定有公共点的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知U是非实数集，若非空集合A₁ ， A₂满足以下三个条件，则称（A₁ ， A₂）为集合U的一种真分拆，并规定（A₁ ， A₂）与（A₂ ， A₁）为集合U的同一种真分拆
①A₁∩A₂=0②A₁ $\text{[math]}$ A₂=U③ $\text{[math]}$ 的元素个数不是 $\text{[math]}$ 中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是（）

A . 5 B . 6 C . 10 D . 15

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二、填空题

11. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. 函数 $\text{[math]}$ 的图象在区间（0，2）上连续不断，能说明“若 $\text{[math]}$ 在区间（0，2）上存在零点，则 $\text{[math]}$ ”为假命题的一个函数 $\text{[math]}$ 的解析式可以为 $\text{[math]}$ =.

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13. 如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB₁C₁C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：
①D₁O⊥AC；
②存在一点P，D₁O∥B₁P；
③若D₁O⊥OP，则△D₁C₁P面积的最大值为 $\text{[math]}$ ；
④若P到直线D₁C₁的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.
其中所有正确结论的序号是.

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14. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是单位向量， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ =， $\text{[math]}$ .

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15. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数g（x）的图象，g（x）=；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），m的最大值为.

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三、解答题

16. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求
  ① $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
  ②直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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17. 在△ABC中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求∠B的大小；
2. （2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
  条作① $\text{[math]}$ ；
  条件② $\text{[math]}$ ；
  条件③：AB边上的高为 $\text{[math]}$ .
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
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18. 良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防止以来，在经济快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碎式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
合计
空气质量优良天数
24
18
11
27
23
21
26
29
27
29
23
30
288
空气质量污染天数
7
10
20
3
8
9
5
2
3
2
7
1
77
1. （1）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；
2. （2）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量X表示选出的3天中质量优良的天数，求X的分布列；
3. （3）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为 $\text{[math]}$ ，空气质量污染天数的方差为 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系.（结论不要求证明）
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.
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20. 已知椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线 $\text{[math]}$ 交于点Q，求证： $\text{[math]}$ .
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21. 若无穷数列{ $\text{[math]}$ }满足如下两个条件，则称{ $\text{[math]}$ }为无界数列：
① $\text{[math]}$ （n=1，2，3......）
②对任意的正数 $\text{[math]}$ ，都存在正整数N，使得 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （n=1，2，3......），判断数列{ $\text{[math]}$ }，{ $\text{[math]}$ }是否是无界数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数k，使得对于一切 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
3. （3）若数列{ $\text{[math]}$ }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得 $\text{[math]}$ .
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