河南省洛阳市2021-2022学年高三理数第二次统一考试试卷

更新时间：2022-03-31 浏览次数：68 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则在复平面内z对应的点在（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 若抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，则P=（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 8

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4. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1011 B . 2022 C . $\text{[math]}$ 1011 D . $\text{[math]}$ 2022

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6. 下列说法中正确的是（）

A . 命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题 B . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”，则“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” C . △ABC中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充分不必要条件 D . 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充要条件

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7. 已知曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为了得到曲线 $\text{[math]}$ ，则对曲线 $\text{[math]}$ 的变换正确的是（）

A . 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 先把横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 先把横坐标缩短到原来的 $\text{[math]}$ 倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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8. (2021高一下·锦州期末) “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 120°

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则此函数可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. “迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为（）

A . 576 B . 288 C . 144 D . 48

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11. 设曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知O为坐标原点，F是双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且 $\text{[math]}$ 轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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14. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知三棱锥P—ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．

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16. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l，交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B处的两条切线交于点M，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求△ACD面积的最大值．
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18. 已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿MN将△AMN折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面MBCN；
2. （2）在线段BC上是否存在点D，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．
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19. 一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在 $\text{[math]}$ 内，其中 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且n为偶数）的销售天数为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且n为奇数）的销售天数为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求实数a的值；
2. （2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ．
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21. 点P与定点 $\text{[math]}$ 的距离和它到定直线 $\text{[math]}$ 的距离之比为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点P的轨迹方程；
2. （2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
2. （2）求C上的点到l距离的最小值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求x的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最小值为M， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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