吉林省五校联考2021-2022学年高三上学期理数联合模拟考...

更新时间：2022-03-08 浏览次数：95 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的真子集共有（）个

A . 3 B . 4 C . 6 D . 7

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第三象限 C . 直线 $\text{[math]}$ 上 D . 直线 $\text{[math]}$ 上

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3. 在二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 的项的系数是（）

A . -10 B . -5 C . 10 D . 20

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4. 数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 3 C . 6 D . 12

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5. 长春54路有轨电车建成于上个世纪30年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展.学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 8 C . 10 D . 12

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7. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸､尖形拱门､大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段 $\text{[math]}$ 和两个圆弧 $\text{[math]}$ ，弧 $\text{[math]}$ 围成，其中一个圆弧的圆心为 $\text{[math]}$ ，另一个圆弧的圆心为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 及两个圆弧均相切，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆 $\text{[math]}$ ，将篮球你表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 $\text{[math]}$ 的交点将圆的周长八等分，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的渐近线的斜率为（）

A . ±1 B . $\text{[math]}$ C . ±2 D . $\text{[math]}$

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9. 已知线段 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条动弦，且 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 把方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线作为函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列结论正确的是（）
① $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减；② $\text{[math]}$ 的图像关于原点对称；③函数 $\text{[math]}$ 不存在零点；④ $\text{[math]}$ 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项是 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，若存在常数 $\text{[math]}$ ，使不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 三条侧棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两互相垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 $\text{[math]}$ 的长度的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为.

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14. 若将函数 $\text{[math]}$ 图象上所有的点向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则 $\text{[math]}$ 的解析式为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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16. 已知点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 轴引垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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18. 在我国抗疫期间，为了保证高中数学的正常进行，通过“钉钉､腾讯会议”等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利用“VB”等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，只有当每个环节制作都合格才为一次成功制作，该视频视为合格作品.
（参考答案 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ）.
1. （1）求小明同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；
2. （2）若小明同学制作15次，其中合格作品数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望与方差；
3. （3）随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某高校看中，聘其为单位制作教学软件，决定试用一段时间，每天制作小视频（注：每天可提供素材制作个数至多40个），其中前7天制作合格作品数 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 如下表：（第 $\text{[math]}$ 天用数字 $\text{[math]}$ 表示）
  时间 $\text{[math]}$
  1
  2
  3
  4
  5
  6
  7
  合格作品数 $\text{[math]}$
  3
  4
  3
  4
  7
  6
  8
  其中合格作品数 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 具有线性相关关系，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？
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19. △ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上两点（包括端点）， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求△ $\text{[math]}$ 的周长；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，当△ $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 $\text{[math]}$ 与以原点为圆心，以椭圆 $\text{[math]}$ 的短半轴长为半径的圆相切.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆的上顶点，过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设两直线的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.（ $\text{[math]}$ ）
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ .以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于异于 $\text{[math]}$ 点的点 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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23. 已知 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 取最小值时a-b的值.
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