浙江省2022届高三下学期数学2月毕业生“极光杯”线上综合测...

更新时间：2022-03-01 浏览次数：209 类型：竞赛测试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . 0 D . 1或-1

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3. 《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点.玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转90°，且为顺时针、逆时针交替转向。如图是游戏中“沙漠”一关的截图，线条从A点前进到B点有两条路径：①和②.假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证.这个定理是（）

A . 平面向量基本定理 B . 共线向量基本定理 C . 有一内角为直角的平行四边形是矩形 D . 两直线平行，同旁内角互补

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4. 在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数，对正整数a，b，c，把 $\text{[math]}$ 记作 $\text{[math]}$ ，并规定 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ 的数量级为（）
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 2022年北京冬季奥运会计划于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。北京冬李奥运会设7个大项、15个分项、109个小项，据此完成小题.
1. （1）小明参加学校组织的“冬奥知多少”知识问答竞赛，第一阶段为5道判断题，只要连续答对3题就能进入第二阶段的竞赛。若小明对每道题回答“是”或“否”都是等概率且独立的，那么他能进入第二阶段的竞赛的概率是（）
  
  A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
2. （2）某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场。该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A点、B点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43°~48°的夹角.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A、B两点在水平方向的距离约为（）
  
  A . 13m B . 19m C . 23m D . 29m
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6. 已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点.若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 3 $\text{[math]}$

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7. 在四棱台 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 与底面垂直，上下底面均为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列各棱中，最长的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

8. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知点P在曲线 $\text{[math]}$ 上，点P与点Q关于y轴对称，点P与点R关于x轴对称，点R与点S关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则下列说法正确的是（）

A . 点Q与点R关于原点对称 B . 点S在曲线 $\text{[math]}$ C . 设O为坐标原点， $\text{[math]}$ 的值不随点P位置的改变而改变 D . 当且仅当点P与点Q重合时， $\text{[math]}$ 取最小值 $\text{[math]}$

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11. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ，过顶点B的平面 $\text{[math]}$ 交分别棱AC，AD于M，N（均不与棱端点重合）.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别表示三棱锥 $\text{[math]}$ 和三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

12. 若关于 $\text{[math]}$ 的复系数一元二次方程 $\text{[math]}$ 的一个根为 $\text{[math]}$ ，则另一个根 $\text{[math]}$ .

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13. 数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数，则 $\text{[math]}$ 的前32项和为.

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14. 设函数 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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15. 实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分。

16. 某视频上传者为确定下一段时间的视频制作方向，在动态中发布投票，投票主题为“你希望我接下来更新哪个方向的视频”，共计8000人参与此投票，投票结果如下图所示（每位关注者仅选一项）.

其中，投票游戏、动漫、生活的关注者之比为1：1：3.

注： $\text{[math]}$ ；临界值 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求参与投票的关注者的性别比；
2. （2）以游戏与生活两个方向为例，依据小概率值 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 独立性检验，判断性别与关注者喜欢视频上传者上传视频的类型是否有关.
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17. 在 $\text{[math]}$ 中，D是边AC上一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 外接圆面积是 $\text{[math]}$ 外接圆面积的3倍，请在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 中任选一个条件作为补充，求 $\text{[math]}$ 的面积
  注：如果选择两个条件分别求解，则按第一个条件的解答计分.
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18. 如图所示， $\text{[math]}$ 是圆锥的一部分，O是底面圆的圆心， $\text{[math]}$ ，P是弧BC上一动点（不与B，C重合），满足 $\text{[math]}$ .M是AB的中点， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积大于 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的取值范围.
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的首项为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求实数 $\text{[math]}$ 的值，使得 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
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20. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .关于m的函数 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的最小值.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆C： $\text{[math]}$ 的左右顶点为A，B，上顶点K满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求C的标准方程：
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆C交于M，N两点.设直线MA和直线NB相交于点P，直线NA和直线MB相交于点Q，直线PQ与x轴交于S.
  （ⅰ）求直线PQ的方程；
  
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$ 是定值.
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