北京市石景山区2022届高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-03-16 浏览次数：71 类型：期末考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {2} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. (2020·新课标Ⅱ·文) 设函数 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ （）

A . 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B . 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C . 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D . 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

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4. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 36 B . 45 C . 63 D . 75

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6. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如图所示，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A . 56 B . 60 C . 120 D . 140

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7. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在△ $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 设 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列，公比为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“对任意的正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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10. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，给出下列三个结论：

① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等③三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值其中，所有正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 设函数 $\text{[math]}$ ，则使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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13. 若点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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14. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为 $\text{[math]}$ 的小圆在一个半径为 $\text{[math]}$ 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知 $\text{[math]}$ ，起始位置时大圆与小圆的交点为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 点为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上的点），滚动过程中 $\text{[math]}$ 点形成的轨迹记为星形线 $\text{[math]}$ .有如下结论：
① 曲线 $\text{[math]}$ 上任意两点间距离的最大值为8；
② 曲线 $\text{[math]}$ 的周长大于曲线 $\text{[math]}$ 的周长；
③ 曲线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 有且仅有4个公共点.
其中正确的序号为.

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15. 双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为，渐近线方程为.

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从条件① $\text{[math]}$ 、条件② $\text{[math]}$ 这两个条件中选择一个作为已知，求：
1. （1） $\text{[math]}$ 的最小正周期；
2. （2） $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值.
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17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ .
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18. 某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束. $\text{[math]}$ 类问题回答正确得10分，否则得0分； $\text{[math]}$ 类问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明同学能正确回答 $\text{[math]}$ 类中的每一个问题的概率均为0.8，能正确回答 $\text{[math]}$ 类中的每一个问题的概率均为0.5，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
1. （1）若小明先回答 $\text{[math]}$ 类问题，记 $\text{[math]}$ 为小明的累计得分，求 $\text{[math]}$ 的分布列；
2. （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，右焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）椭圆 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的两个顶点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的大小.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求证：当 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ .
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21. 记实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的较大者为 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于无穷数列 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“趋势递减数列”.
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
2. （2）已知首项为1公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 是“趋势递减数列”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正实数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为“趋势递减数列”的充要条件为 $\text{[math]}$ 的项中没有0.
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