湖南省大联考2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-03-23 浏览次数：82 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 5

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 10 C . 5 D . 25

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4. 已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ 的三个顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 外接圆的圆心坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（）

A . 4000元 B . 4500元 C . 4800元 D . 5000元

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8. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O是AC的中点，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，若直线OP与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 有相同的焦点 B . 设A，B为两个定点，k为非零常数，若 $\text{[math]}$ ，则动点P的轨迹为双曲线 C . 方程 $\text{[math]}$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D . 动圆P过定点 $\text{[math]}$ 且与定直线 $\text{[math]}$ 相切，则圆心P的轨迹方程是 $\text{[math]}$

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10. 如图，平面 $\text{[math]}$ 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面ABCD C . $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积是 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 上一动点，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C . $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最小值小于 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为6

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12. 设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的前n项和．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是等比数列 B . $\text{[math]}$ 是递减数列 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z的虚部为．

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14. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则m的最大值为．

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16. 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，前12项的和为298，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套的乡村游项目，现统计了10月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
1. （1）根据频率分布直方图，估计该组数据的众数和50%分位数（即中位数，结果精确到0.1）；
2. （2）若将购买水果金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从这5人中任选2人，并赠送这2人价值50元的水果，求这2人中至少有1人购买水果金额不低于100元的概率．
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18. 等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求b，c的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. 2021年12月8日 $\text{[math]}$ 日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元，设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）请用一个递推关系式表示 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系．
2. （2）证明：数列 $\text{[math]}$ 为等比数列．
3. （3）预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．
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21. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F分别是棱AB，PC的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面PAD．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．
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22. 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，焦距为2，过 $\text{[math]}$ 的直线与C相交于D，E两点，且 $\text{[math]}$ 的周长为8．
1. （1）求C的方程；
2. （2）若直线l与C交于不同的两点M，N，以MN为直径的圆经过C的右顶点A，且A不在直线l上，证明直线l过定点，并求出定点坐标．
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