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广东省2022届高三上学期数学综合能力测试（二）试卷

更新时间：2022-10-09 浏览次数：63 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 的子集个数为（）

A . 4 B . 6 C . 7 D . 8

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2. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复平面内表示 $\text{[math]}$ 的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

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4. 某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的 $\text{[math]}$ 倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的50%，则 $\text{[math]}$ 的值至少为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 关于原点对称 B . 关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 关于点 $\text{[math]}$ 对称

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6. 下雨天开车，由于道路条件变差，司机的视线受阻，会给交通安全带来很大的影响．交警统计了某个路口300天的天气和交通情况，300天中有90天下雨，有50天发生了交通事故，其中有30天既下雨又发生了交通事故，则估计该路口“下雨天发生交通事故的概率”是“非雨天发生交通事故概率”的（）

A . 1.5倍 B . 2.5倍 C . 3.5倍 D . 4.5倍

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7. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线 $\text{[math]}$ 上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线 $\text{[math]}$ 有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知异面直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，其公垂线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ，长度为 $\text{[math]}$ 的线段 $\text{[math]}$ 的两端点分别在直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 中点的轨迹为（）（注：公垂线段指与异面直线垂直且相交的线段）

A . 直线 B . 圆 C . 椭圆 D . 双曲线

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9. 记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则k可以等于（）

A . 8 B . 9 C . 11 D . 12

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二、多选题

10. 近年来，报考教师资格证的人数越来越多，教师行业逐渐升温．下图给出了近四年四所师范院校的录取分数排名，则（）

A . 近四年北京师范大学录取分数排名变化最不明显 B . 近四年湖南师范大学录取分数排名的平均值最大 C . 近四年华南师范大学录取分数排名的极差值最大 D . 近四年华中师范大学的生源质量呈现下降的趋势

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11. 设 $\text{[math]}$ 是给定的平面， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是不在 $\text{[math]}$ 内的任意两点，则（）

A . 在 $\text{[math]}$ 内存在直线与直线 $\text{[math]}$ 平行 B . 在 $\text{[math]}$ 内存在直线与直线 $\text{[math]}$ 相交 C . 在 $\text{[math]}$ 内存在直线与直线 $\text{[math]}$ 垂直 D . 存在过直线 $\text{[math]}$ 的平面与 $\text{[math]}$ 垂直

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为偶函数 D . $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为奇函数

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式的第 $\text{[math]}$ 项为．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．圆 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于100元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠﹒活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的10个球，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为11视为中奖，其余情况不中奖﹒
1. （1）求抽奖活动中奖的概率；
2. （2）某顾客准备分别购买两件原价为200元、300元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列﹒
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18. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的等差中项，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明：数列 $\text{[math]}$ 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．
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19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边长均为正整数，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若角B为钝角，求△ABC的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求a．
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20. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为4的正方形﹒再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并做答：
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值﹒
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ ；
  条件③：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ﹒
  注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分﹒
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21. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ， F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为 $\text{[math]}$ ﹒
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且 $\text{[math]}$ ，求k的取值范围﹒
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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