山东省2021-2022学年高二上学期数学10月“山东学情”...

更新时间：2021-10-26 浏览次数：93 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知不共线的两个向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线 B . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共面 C . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线 D . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线

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2. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为空间中的两个非零向量，模长均为2，它们的夹角为45°，那么 $\text{[math]}$ （）

A . 20 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列等式正确的个数（）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$

A . 2个 B . 1个 C . 4个 D . 3个

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4. 已知空间四点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 3 C . 11 D . 5

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5. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则用基底 $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，在一个45°的二面角的棱上有两个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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8. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角正切值为3

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二、多选题

9. 设 $\text{[math]}$ 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A . 基底 $\text{[math]}$ 中的向量可以为任意向量. B . 空间中任一向量 $\text{[math]}$ ，存在唯一有序实数组 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 也可以构成空间的一组基底.

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10. 给出下列命题，其中正确的命题为（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则一定有点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合. B . 若 $\text{[math]}$ 为钝角，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的方向向量，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，也是直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 D . 非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是共面向量，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 必共面.

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11. 如图所示，长方体 $\text{[math]}$ ，底面是边长为1的正方形，高为2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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12. 如图所示，平行六面体 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是45° D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量，如果直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 的单位方向向量 $\text{[math]}$ .

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14. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量的模为.

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是正三角形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为.

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四、解答题

17. 已知空间内不重合的四点，坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面是矩形，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.（用向量法解决下列问题）
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面.
2. （2）求证： $\text{[math]}$
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20. 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的三等分点 $\text{[math]}$ .（用向量法解决下列问题）
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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21. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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22. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
3. （3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.
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