辽宁省部分重点中学协作体2021届高三数学模拟试卷

更新时间：2021-06-07 浏览次数：130 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图示中阴影部分表示的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为复数，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 在中国共产党建党百年之际，我们将迎来全面建成小康社会，实现第一个百年目标的伟大胜利.在脱贫攻坚如期收官之后，为更好地解决相对贫困问题，某地着力加强教育脱贫工作.现安排5名优秀教师到4个贫困县进行支教工作，要求每个贫困县至少安排1名教师，则不同的安排方案有（）种

A . 60 B . 120 C . 240 D . 480

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4. “天问一号”是我国自主研发的第一个火星探测器，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图.已知火星的质量 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，“天问一号”的质量 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 19.22 B . 19.92 C . 20.08 D . 20.48

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5. 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 160 B . -160 C . 80 D . -80

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立且 $\text{[math]}$ 最小值为 $\text{[math]}$ ，设函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得最大值，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有（）个零点

A . 0 B . 1 C . 2 D . 无数个

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7. “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，其中“扭棱十二面体”就是一种“阿基米德多面体”.它是由80个正三角形和12个正五边形组成的，若多面体的顶点数、棱数和面数满足：顶点数-棱数+面数=2，则“扭棱十二面体”的顶点数为（）

A . 56 B . 58 C . 60 D . 62

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8. 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列不等式正确的是（）（参考数据： $\text{[math]}$ …）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 设实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知直四棱柱 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧棱长为3，设 $\text{[math]}$ 为侧面 $\text{[math]}$ 所在平面内且与 $\text{[math]}$ 不重合的任意一点，则直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 若双曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为左、右焦点，设点 $\text{[math]}$ 在双曲线上且在第一象限的动点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，则下列说法正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为双曲线的一部分 C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ . D . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列有关叙述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为递减数列 B . $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为递增数列 C . $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 一定不为常数数列 D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 汽车前照灯主要由光源、反射镜及配光片三部分组成，其中经过光源和反射镜顶点的剖面轮廓为抛物线，而光源恰好位于抛物线的焦点处，这样光源发出的每一束光线经反射镜反射后均可沿与抛物线对称轴平行的方向射出.某汽车前照灯反射镜剖面轮廓可表示为抛物线 $\text{[math]}$ .在平面直角坐标系中，设抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线的准线记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，动点P在抛物线上运动，若点P到准线 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ ，且满足此条件的点P有且只有一个，则 $\text{[math]}$

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15. 已知四面体 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为其内部一点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当四面体 $\text{[math]}$ 体积最大时，四面体 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为．

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16. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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四、解答题

17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.
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18. 设数列 $\text{[math]}$ 的各项均为非零实数，记其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）是否存在一个无穷数列 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，若存在，请给出符合条件的数列 $\text{[math]}$ 的一个通项公式；若不存在，请说明理由.
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19. 在中 $\text{[math]}$ ，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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20. 第24届冬奥会将于2022年在北京市和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是成功举办的重要保障.在冬奥会的志愿者选拔工作中，某高校承办了冬奥会志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩分五组，第一组 $\text{[math]}$ ，第二组 $\text{[math]}$ ，第三组 $\text{[math]}$ ，第四组 $\text{[math]}$ ，第五组 $\text{[math]}$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

（1）求 $\text{[math]}$ 的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；

（2）已知抽取的80名候选人中，男生和女生各40人，男生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有10人，女生希望参加张家口赛区志愿服务的人数有20人，补全下面2×2列联表，问是否有95%的把握认为希望参加张家口赛区志愿者服务的候选人与性别有关？

	男生	女生	总计
希望去张家口赛区	10	20
不希望去张家口赛区
总计	40	40

（3）冰球项目的场地服务需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通过该项志愿服务的选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将5张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，记男生中签的人数为X，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .
参考数据及公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率乘积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为切点， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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