河北省张家口市、沧州市2021届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2021-06-16 浏览次数：92 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，若复数 $\text{[math]}$ 是实数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 9 B . 6 C . 3 D . 2

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3. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点到渐近线的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 设平面向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . 9 D . 6

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6. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型： $\text{[math]}$ ，其中t表示经过的时间， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（）( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

A . 14.30亿 B . 15.20亿 C . 14.62亿 D . 15.72亿

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7. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面ABC.所有棱长都为1，E，F分别为棱BC和 $\text{[math]}$ 的中点，若经过点A，E，F的平面将三棱柱 $\text{[math]}$ 分割成两部分，则这两部分体积的比值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 对于任意 $\text{[math]}$ ，总存在三个不同的实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 直线l与圆M一定相交 B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线l与圆M相切 C . 当 $\text{[math]}$ 时，直线l与圆M的相交弦最长 D . 圆心M到直线l的距离的最大值为 $\text{[math]}$

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10. 2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（）

A . 直方图中a的值为0.4 B . 由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒 C . 由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒 D . 由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列选项一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $\text{[math]}$ .则下列选项中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已如点 $\text{[math]}$ ，F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则k²的取值范围是.

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15. 某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为.

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16. 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值为，且 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明数列 $\text{[math]}$ 是等比数列，并求数列 $\text{[math]}$ 的通项.
2. （2）是否存在整数k，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由.
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18. 已知在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\text{[math]}$ .
1. （1）求B；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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19. 某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的 $\text{[math]}$ 列联表：

	父母接送	独自到校	合计
男	20	40	60
女	30	20	50
合计	50	60	110

附表：

$\text{[math]}$	0.100	0.05	0.025	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

附： $\text{[math]}$

（1）根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？
（2）若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X表示6人中“独自到校”的人数，求X的数学期望和方差.

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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若异面直线PB与CD所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围.
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22. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 $\text{[math]}$ ，设动点P的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线 $\text{[math]}$ 于点B.交抛物线 $\text{[math]}$ 于点E(点B，E不同于点A).
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程.
2. （2）是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由.
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