河北省唐山市2021届高三数学一模试卷

更新时间：2021-06-07 浏览次数：115 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . R B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若虚数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 圆 $\text{[math]}$ 上到直线 $\text{[math]}$ 距离为1的点恰有一个，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 8 C . 3或-17 D . -22或8

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5. 记 $\text{[math]}$ 展开式的偶数项之和为P ，则P的最小值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. 在0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的两位整数中任取一个，则取到的整数十位上数字比个位上数字大的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与C相交于A ， B两点，若四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，则双曲线C的离心率 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则满足 $\text{[math]}$ 的x的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知F为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，A ， B为E的两个顶点.若 $\text{[math]}$ ，则E的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在下列函数中，其图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，P是面对角线 $\text{[math]}$ 上的动点，Q是棱 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 、P、Q三点的平面与正方体的表面相交，所得截面多边形可能是（）

A . 三角形 B . 四边形 C . 五边形 D . 六边形

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12. 函数 $\text{[math]}$ 的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（）

A . $\text{[math]}$ 的极小值点为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 过原点且与曲线 $\text{[math]}$ 相切的直线仅有2条 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为其前n项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 与向量 $\text{[math]}$ 同向的单位向量 $\text{[math]}$ .

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15. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为.

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16. 为了解M离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：给100只小鼠服M离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同，经过一段时间后检测出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据得到如频率分布直方图，则图中 $\text{[math]}$ ；估计M离子残留百分比的平均数为（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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19. 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求四面体 $\text{[math]}$ 的体积.
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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l过点P ，与E相交于不同的点A ， B.
1. （1）求k的取值范围；
2. （2）斜率为 $\text{[math]}$ 的直线m过点P ，与E相交于不同的点C ， D ，证明：直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 及y轴围成等腰三角形.
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21. 某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制.双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战（结果是“非胜即败”），胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如下图所示：

赛前通过抽签确定选手编号为1~16，在胜者组进行第一轮比赛.每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，···，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A ， B ， ···，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者.

参考知识：正整数 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，e为自然对数的底， $\text{[math]}$ .
1. （1）本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？（直接写结果）
2. （2）选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其期望 $\text{[math]}$ ；
3. （3）假设选手乙每轮比赛的胜率都为t ，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 在定义域内为减函数；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围.
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