河北省唐山市2021届高三数学三模试卷

更新时间：2021-06-09 浏览次数：159 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . {2} B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位， $\text{[math]}$ ，若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知角 $\text{[math]}$ 的始边与x轴非负半轴重合，终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，O为坐标原点，点P在C的一条渐近线上，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）的展开式的常数项与其各项系数之和相等，则其展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . -45 B . 45 C . -180 D . 180

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7. 赤道式日晷(guǐ）是利用日影变化规律制成的天文记时仪器（如下左图)，“日”指“太阳”，“晷”表示“影子”，“日晷”的意思为“太阳的影子”.晷针在晷面上的日影自西向东慢慢移动，晷面的刻度（如下右图）是均匀的，移动的晷针日影犹如现代钟表的指针，日影落在晷面相应的刻度上便可读取时间.晷面上刻有十二个时辰，用十二地支表示，每个时辰大约2小时，正子时表示凌晨0点左右，则下右图表示的时间大约是几点钟？若再过31个小时大约是哪个时辰？（）

A . 4点，戌时 B . 5点，亥时 C . 9点，申时 D . 10点，酉时

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式成立得有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 下列说法正确的是（）

A . 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 $\text{[math]}$ ，则游戏者闯关成功的概率为 $\text{[math]}$ B . 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 $\text{[math]}$ C . 已知随机变量X的分布列为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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11. 将边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成直二面角 $\text{[math]}$ ，如图所示，点 $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成得角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 平行得平面截四面体 $\text{[math]}$ 所得截面的面积为 $\text{[math]}$ D . 四面体 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为8π

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12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线r： $\text{[math]}$ ，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 射入，经过r上的点 $\text{[math]}$ 反射后，再经r上另一点 $\text{[math]}$ 反射后，沿直线 $\text{[math]}$ 射出，经过点Q，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . PB平分 $\text{[math]}$ D . 延长AO交直线 $\text{[math]}$ 于点C，则C，B，Q三点共线

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三、填空题

13. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为线段AC上的动点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是正方形，侧棱长均为3，则该四棱锥的体积的最大值为．

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16. 关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恰有一个解，则实数a的取值范围是．

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四、解答题

17. 如图所示，在梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是AD上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求BC.
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18. 若数列 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
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19. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
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20. 某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
2. （2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
  ①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
  
  ②混合检验，即将k份（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
  
  假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 $\text{[math]}$ ，为使混合检验需要的检验的总次数 $\text{[math]}$ 的期望值比逐份检验的总次数 $\text{[math]}$ 的期望值更少，求k的取值范围.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，C为动点，设 $\text{[math]}$ 的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于P，Q，R，且 $\text{[math]}$ ，记点C的轨迹为曲线E.
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）不过原点O的直线l与曲线E交于M，N，且直线 $\text{[math]}$ 经过MN的中点T，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值.
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