江苏省百校联考2021届高三下学期数学4月第三次考试试卷

更新时间：2021-05-27 浏览次数：150 类型：高考模拟

一、单选题

1. “虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程 $\text{[math]}$ 在实数范围内没有解.已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等.及其用也，乃有三焉.十等者，亿､兆､京､垓､秭､壤､沟､涧､正､载.三等者，谓上､中､下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也.中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京.上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也.从亿至载，终于大衍.下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用.故其传业，唯以中数耳.”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即 $\text{[math]}$ 万， $\text{[math]}$ 亿， $\text{[math]}$ 兆， $\text{[math]}$ 京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（）

A . 21 B . 20 C . 25 D . 24

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4. 已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13､25､41，下列各数一定是该数列的项的是（）

A . 2019 B . 2020 C . 2021 D . 2022

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是不共面向量，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为3，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 8

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6. 正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知四面体 $\text{[math]}$ 的四个顶点都在以 $\text{[math]}$ 为直径的球 $\text{[math]}$ 面上，且 $\text{[math]}$ ，若四面体 $\text{[math]}$ 的体积是 $\text{[math]}$ ，则这个球面的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标 $\text{[math]}$ 中，已知圆 $\text{[math]}$ 过点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一象限内

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10. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，设曲线 $\text{[math]}$ 的方程是 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 上的点与定点 $\text{[math]}$ 距离的最小值是 $\text{[math]}$ B . 曲线 $\text{[math]}$ 上的点和定点 $\text{[math]}$ 的距离与到定直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的距离的比是 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 绕原点顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，所得曲线方程是 $\text{[math]}$ D . 曲线 $\text{[math]}$ 的切线与坐标轴围成的三角形的面积是4

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11. 设 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 下列结论正确的是（）

A . 存在这样的四面体 $\text{[math]}$ ，四个面都是直角三角形 B . 存在这样的四面体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . 存在不共面的四点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ D . 存在不共面的四点 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是奇函数，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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14. 集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列， $\text{[math]}$ 的元素个数是1，在 $\text{[math]}$ 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是.

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15. 设数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 各项互不相同，且 $\text{[math]}$ .若下列四个关系① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 中恰有一个正确，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

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16. 设抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 在它们的一个交点处的切线互相垂直，则 $\text{[math]}$ 过定点.

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四、解答题

17.
1. （1）写出一个等差数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，使 $\text{[math]}$ 满足① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 是等差数列，其中 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.(写出一个就可以，不必证明)
2. （2）对于（1）中的 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当A、B、C、D共圆时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元.如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：

日需求量杯数	20	25	30	35	40	45	50
天数	5	5	10	15	10	10	5

以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
（2） ①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用 $\text{[math]}$ 表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由.

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20. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 所在平面与 $\text{[math]}$ 所在平面垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值是 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值是 $\text{[math]}$ ，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，焦点到相应准线的距离是3.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上关于原点对称的两点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 并分别延长交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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22. 设 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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