福建省莆田市2021届高三数学三模试卷

更新时间：2021-07-29 浏览次数：147 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 0 B . 3 C . 4 D . 5

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2. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . ±3 C . 4 D . ±4

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的图像的切线斜率可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . $\text{[math]}$ D . -4

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4. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）

A . 16天 B . 17天 C . 18天 D . 19天

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5. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 下列各项中，是 $\text{[math]}$ 的展开式的项为（）

A . 15 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第 $\text{[math]}$ 天进店消费的人数为y ，且y与 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（）

A . 74 B . 76 C . 78 D . 80

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8. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，D为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线 $\text{[math]}$ 异面的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为10 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为9

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称 C . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称 D . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称

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11. 已知曲线C的方程为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . C表示一条直线 B . 当 $\text{[math]}$ 时，C与圆M有3个公共点 C . 当 $\text{[math]}$ 时，存在圆N ，使得圆N与圆M相切，且圆N与C有4个公共点 D . 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是 $\text{[math]}$

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12. 如图，函数 $\text{[math]}$ 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， $\text{[math]}$ 的零点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 有3个零点 B . $\text{[math]}$ 恒成立 C . 函数 $\text{[math]}$ 有4个零点 D . $\text{[math]}$ 恒成立

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三、填空题

13. 写出一个虚数z ，使得 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，M为C左支上一点，N为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，P为线段 $\text{[math]}$ 的中点.若 $\text{[math]}$ (O为坐标原点)，则C的渐近线方程为.

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15. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

	A区	B区	C区	D区	E区
外来务工人员数	5000	4000	3500	3000	2500
留在当地的人数占比	80%	90%	80%	80%	84%

根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ .该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为万元.(参考数据：取 $\text{[math]}$ )

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16. 如图，正四棱锥 $\text{[math]}$ 的每个顶点都在球M的球面上，侧面 $\text{[math]}$ 是等边三角形.若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为.

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四、解答题

17. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 $\text{[math]}$ ，后两天每天出现风雨天气的概率均为 $\text{[math]}$ ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为 $\text{[math]}$ ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
2. （2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
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19. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ．.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分.
  ①设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
  
  ②设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆O(O为圆心)过点A ，且 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，M为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求m的取值范围.
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22. 已知F为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，直线 $\text{[math]}$ 与C交于A ， B两点且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求C的方程.
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与C交于M ， N两点，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点T ，证明：点T在定直线上.
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