四川省成都市2021届高三理数第二次诊断性检测试卷

更新时间：2021-05-20 浏览次数：96 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位．则复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

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3. 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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4. 袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．则摸出的两个球颜色相同的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -3 D . 3

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6. 在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边中点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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7. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为 $\text{[math]}$ 的球 $\text{[math]}$ 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（）

A . 4π B . 8π C . 12π D . 16π

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，则当 $\text{[math]}$ 取最小值时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则使得 $\text{[math]}$ 成立的 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 17 B . 18 C . 19 D . 20

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10. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间的关系为 $\text{[math]}$ ．如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

A . 4h B . 6h C . 8h D . 10h

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 为抛物线上的动点，点 $\text{[math]}$ ．则当 $\text{[math]}$ 取最大值时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知四面体 $\text{[math]}$ 的所有棱长均为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的动点．有下列结论：
①线段 $\text{[math]}$ 的长度为1；②若点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则无论点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 如何运动，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 都是异面直线；③ $\text{[math]}$ 的余弦值的取值范围为 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 周长的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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15. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 恰好为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率的值为．

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16. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为．（用符号“ $\text{[math]}$ ”连接）

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三、解答题

17. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限 $\text{[math]}$ （单位：年）与失效费 $\text{[math]}$ （单位：万元）的统计数据如下表所示：

使用年限 $\text{[math]}$ （单位：年）	1	2	3	4	5	6	7
失效费 $\text{[math]}$ （单位：万元）	2.90	3.30	3.60	4.40	4.80	5.20	5.90

（Ⅰ）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）

（Ⅱ）求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．

参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ．

线性回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距最小二乘估计计算公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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19. 如图①，在等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到如图②所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，其长半轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，求△ $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ 存在唯一极值点，且极值为0，求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）讨论 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的零点个数．

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ．以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于异于 $\text{[math]}$ 点的点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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23. 设函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

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