甘肃省2020-2021学年高三理数第一次高考诊断试卷

更新时间：2021-05-12 浏览次数：94 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·甘肃模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·甘肃模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·甘肃模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线经过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 12

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4. (2021·甘肃模拟) 甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）

A . 7，7 B . 7，1.2 C . 1.1，2.3 D . 1.2，5.4

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5. (2021·甘肃模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 是奇函数，且在 $\text{[math]}$ 单调递减 B . 是奇函数，且在 $\text{[math]}$ 单调递增 C . 是偶函数，且在 $\text{[math]}$ 单调递减 D . 是偶函数，且在 $\text{[math]}$ 单调递增

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6. (2021·甘肃模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示两条不同直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示两个不同平面．设有四个命题： $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．则下列复合命题中为真命题的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·甘肃模拟) 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\text{[math]}$ 下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021·甘肃模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是第四象限角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021·甘肃模拟) 圆 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离大于 $\text{[math]}$ 的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·甘肃模拟) 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 $\text{[math]}$ ，外径 $\text{[math]}$ ，筒高 $\text{[math]}$ ，方高 $\text{[math]}$ ，则其体积约为（单位： $\text{[math]}$ ）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·甘肃模拟) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021·甘肃模拟) 设实数 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2021·甘肃模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系是．（按照从大到小的顺序排列）

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14. (2021·甘肃模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2021·甘肃模拟) $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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16. (2021·甘肃模拟) 函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有下列命题：
① $\text{[math]}$ 的表达式可改写为 $\text{[math]}$ ；

②直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的一条对称轴；

③函数 $\text{[math]}$ 的图象可以由函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到；

④满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．

其中正确的命题序号是．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

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三、解答题

17. (2021·甘肃模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求使得 $\text{[math]}$ 成立的最小正整数 $\text{[math]}$ ．
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18. (2021·甘肃模拟) 2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分．学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在 $\text{[math]}$ 间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如下表：

一分钟跳绳个数

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

得分

16

17

18

19

20
1. （1）补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数；
2. （2）若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于35分，则称该小队为“潜力队”，用频率估计概率，求从进行测试的100名学生中任意选取2人，恰好选到“潜力队”的概率．
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19. (2021·甘肃模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点．
1. （1）在平面 $\text{[math]}$ 内能否作一条直线与平面 $\text{[math]}$ 垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. (2021·甘肃模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设椭圆 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 的斜率与 $\text{[math]}$ 的斜率之和为-1，直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
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21. (2021·甘肃模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. (2021·甘肃模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方程为： $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为： $\text{[math]}$ ．
1. （1）将直线 $\text{[math]}$ 的方程化为普通方程，曲线 $\text{[math]}$ 的方程化为直角坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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23. (2021·甘肃模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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