河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期理数期中考试试卷

更新时间：2021-04-22 浏览次数：155 类型：期中考试

一、单选题

1. 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数的虚部是（）

A . i B . $\text{[math]}$ C . 1 D . -1

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2. 用反证法证明命题：“设a，b，c为实数，满足 $\text{[math]}$ 是无理数，则a，b，c至少有一个是无理数”时，假设正确的是（）

A . 假设a，b，c都是有理数 B . 假设a，b，c至少有一个是有理数 C . 假设a，b，c不都是无理数 D . 假设a，b，c至少有一个不是无理数

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的图象如下图，则函数 $\text{[math]}$ 在下列区间上平均变化率最大的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 有一段演绎推理：“若数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则通项公式 $\text{[math]}$ .已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则通项公式 $\text{[math]}$ ”.对该演绎推理描述正确的是（）

A . 大前提错误，导致结论错误 B . 小前提错误，导致结论错误 C . 推理形式错误，导致结论错误 D . 以上演绎推理是正确的

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5. 函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知过原点的直线l与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则由曲线 $\text{[math]}$ ，y轴和直线l所围成的平面图形的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图：图O内切于正三角形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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8. 若函数 $\text{[math]}$ 存在极值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则P，Q的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 不能确定

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10. 部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为 $\text{[math]}$ ，则第n个图中阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知b为正实数，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 关于x的方程 $\text{[math]}$ 有三个不等的实数解 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . e B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 设复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. $\text{[math]}$

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中e是自然对数的底数.若 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围是.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知m为实数，设复数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数时，求m的值；
2. （2）当复数 $\text{[math]}$ 对应的点在直线 $\text{[math]}$ 的上方，求m的取值范围.
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18.
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若x，y都是正实数，且 $\text{[math]}$ ，用反证法证明： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中至少有一个成立.
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19. 不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？

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20. (2016高二下·安徽期中) 在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n= $\text{[math]}$ （a_n+ $\text{[math]}$ ），
1. （1）求a₁ ， a₂ ， a₃；
2. （2）由（1）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 区间 $\text{[math]}$ 上存在非负的极值，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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