2015-2016学年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷（理...

更新时间：2016-10-21 浏览次数：1051 类型：期末考试

一、选择题

1. 复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）

A . 2 B . 1 C . 0 D . ﹣1

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2. x²＞0是x＞0的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也必要条件

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3. 已知数列{a_n}中， $\text{[math]}$ ，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）

A . n≤2014 B . n≤2016 C . n≤2015 D . n≤2017

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4. 若点P为曲线 $\text{[math]}$ （θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. 函数 $\text{[math]}$ 在区间[0，π]上的零点之和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A . c＜b＜a B . b＜c＜a C . c＜a＜b D . a＜b＜c

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7. 若F（c，0）为椭圆C： $\text{[math]}$ 的右焦点，椭圆C与直线 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．
其中真命题的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

9. 在（2x﹣1）⁷的展开式中，x²的系数等于．（用数字作答）

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10. 若x，y的满足 $\text{[math]}$ ，则z=2x﹣y的最小值为．

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11. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₇=42，则a₂+a₃+a₇=．

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12. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，点M，N是线段AB上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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14. 设函数 $\text{[math]}$ 其中a＞﹣1．
1. （1）当a=0时，若f（x）=0，则x=；
2. （2）若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．
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三、解答题

15. 如图，在△ABC中，AB=12， $\text{[math]}$ ，点D在边BC上，且∠ADC=60°．
1. （1）求cosC；
2. （2）求线段AD的长．
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16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：CF∥平面PAB；
2. （2）求证：PE⊥平面ABCD；
3. （3）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
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17. 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．
1. （1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P₁；
2. （2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为 $\text{[math]}$ ，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P₂；
3. （3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P₃ ．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P₁和P₂的值，写出P₁ ， P₂ ， P₃的大小关系（只写结果，不用说明理由）．
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18. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数y=f（x）的极值；
2. （2）若存在实数x₀∈（﹣1，0），且 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围．
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19. 已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．
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20. 已知数列{a_n}的各项均为正数，满足a₁=1，a_k+1﹣a_k=a_i ．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若{a_n}是等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
3. （3）设数列{a_n}的前n项和为S_n ，求证： $\text{[math]}$ ．
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