2015-2016学年江西省宜春市丰城中学高二下学期期中数学...

更新时间：2016-09-20 浏览次数：667 类型：期中考试

一、选择题

1. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）²=（）

A . 3﹣4i B . 3+4i C . 5﹣4i D . 5+4i

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2. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）

A . 假设a，b，c不都是偶数 B . 假设a，b，c都不是偶数 C . 假设a，b，c至多有一个是偶数 D . 假设a，b，c至多有两个是偶数

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3. 设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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4. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ =0.7x+0.35，那么表中m值为（）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5

A . 4 B . 3.15 C . 4.5 D . 3

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5. 用数学归纳法证明不等式1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2﹣ $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N₊）时，第一步应验证不等式（）

A . 1+ $\text{[math]}$ ＜2﹣ $\text{[math]}$ B . 1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜2﹣ $\text{[math]}$ C . 1+ $\text{[math]}$ ＜2﹣ $\text{[math]}$ D . 1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜2﹣ $\text{[math]}$

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6. 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数y=f（x）的图象为如图所示的折线ABC，则 $\text{[math]}$ dx=（）

A . 2 B . ﹣2 C . 1 D . ﹣1

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8. 袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%．则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（）

A . 0.6 B . 0.7 C . 0.8 D . 0.66

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10. 已知正三角形内切圆的半径是高的 $\text{[math]}$ ，把这个结论推广到正四面体，类似的结论正确的是（）

A . 正四面体的内切球的半径是高的 $\text{[math]}$ B . 正四面体的内切球的半径是高的 $\text{[math]}$ C . 正四面体的内切球的半径是高的 $\text{[math]}$ D . 正四面体的内切球的半径是高的 $\text{[math]}$

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11. f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$ ，则（）

A . a＜b＜c B . b＜a＜c C . c＜a＜b D . c＜b＜a

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12. 已知函数f（x）=﹣ $\text{[math]}$ ，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）

A . 8 B . 6 C . 4 D . 2

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二、填空题．

13. 若复数z满足（l+2i）z=|3+4i|（i为虚数单位），则复数z等于．

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14. 由曲线y= $\text{[math]}$ ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．

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15. 我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a²）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的 $\text{[math]}$ ，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有人．

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16. 已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞ $\text{[math]}$ ），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．

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三、解答题

17. 证明与分析
1. （1）已知a，b为正实数．求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥a+b；
2. （2）某题字迹有污损，内容是“已知|x|≤1，，用分析法证明|x+y|≤|1+xy|”．试分析污损部分的文字内容是什么？并说明理由．
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18. 已知函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a，b的值；
2. （2）求函数y=f（x）的单调性．
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19. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
平均每天锻炼
的时间（分钟）
[0，10）
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
总人数
20
36
44
50
40
10
将学生日均课外课外体育运动时间在[40，60）上的学生评价为“课外体育达标”．
1. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
  课外体育不达标
  课外体育达标
  合计
  男
  女
  20
  110
  合计
2. （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差．
  参考公式： $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d．
  参考数据：
  P（K²≥k₀）
  0.10
  0.05
  0.025
  0.010
  0.005
  0.001
  k₀
  2.706
  3.841
  5.024
  6.635
  7.879
  10.828
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20. 已知函数f（x）=e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
1. （1）求a的值及函数f（x）的极值；
2. （2）证明：当x＞0时，x²＜e^x ．
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21. 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且面试是否合格互不影响．求：
1. （1）至少有1人面试合格的概率；
2. （2）签约人数ξ的分布列和数学期望．
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22. 已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0且a≠1）
1. （1）求函数f（x）单调递增区间；
2. （2）若存在x₁ ， x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
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