湖南省永州市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-02-25 浏览次数：180 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . -2 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . 2 C . -2 D . 1

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4. 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为抛物线的焦点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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5. 2020年5月14日，中共中央政治局常委会会议首次提出“深化供给侧结构性改革，充分发挥我国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”.某地响应党的号召推出了“与爱同行”的旅游系列活动以拉动内需，为了让游客更好的了解当地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 $\text{[math]}$ 点表示十月的平均最高气温为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点表示四月的平均最低气温为 $\text{[math]}$ .下面叙述不正确的是（）

A . 各月的平均最低气温都在 $\text{[math]}$ 以上 B . 七月的平均温差比一月的平均温差大 C . 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D . 平均最高气温高于 $\text{[math]}$ 的月份有 $\text{[math]}$ 个

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6. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的动点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，检测结果的频率分布直方图如图所示，据此估计这批产品的中位数为（）

A . 20 B . 25 C . 22.5 D . 22.75

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8. 双曲线 $\text{[math]}$ 左、右焦点为F₁ ， F₂ ，直线 $\text{[math]}$ 与C的右支相交于P，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线C渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的有（）

A . 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件 B . 在标准大气压下，水在 $\text{[math]}$ 时结冰为随机事件 C . 若一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的众数是 $\text{[math]}$ ，则这组数据的平均数为 $\text{[math]}$ D . 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 $\text{[math]}$ 的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为 $\text{[math]}$ ，则应从四年级中抽取 $\text{[math]}$ 名学生

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10. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列（ $\text{[math]}$ 为双曲线的半焦距），点 $\text{[math]}$ 为双曲线右支上的点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心.若 $\text{[math]}$ 成立，则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ B . 离心率 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 的横坐标为定值 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 存在唯一极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 恰有3个零点 C . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象有两个交点 D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知命题 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ：.

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14. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ （用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示）.

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15. 已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点，则 $\text{[math]}$ 的周长为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值和最大值.
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18. 已知抛物线 $\text{[math]}$ .
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ 距离的最小值；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线m交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ .
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19. 某企业为了提高企业利润，从2014年至2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额 $\text{[math]}$ （单位：万元）与年利润增长量 $\text{[math]}$ （单位：万元）的数据如表：

年份	2014	2015	2016	2017	2018
投资金额 $\text{[math]}$ /万元	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0
年利润增长量 $\text{[math]}$ /万元	6.0	7.0	9.0	11.0	12.0

（1）记 $\text{[math]}$ 年利润增长量 $\text{[math]}$ 投资金额，现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是 $\text{[math]}$ 万元的概率；
（2）请用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归直线方程；如果2019年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少？
参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为正三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中线，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆左、右顶点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为椭圆上、下顶点，且四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （异于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ）两点，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求整数 $\text{[math]}$ 的最小值.
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