2017年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）

更新时间：2017-07-30 浏览次数：782 类型：高考模拟

一、选择题

1. i为虚数单位，则i+i²+i³+i⁴=（）

A . 0 B . i C . 2i D . ﹣i

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2. 已知集合A={x|x²﹣x+4＞x+12}，B={x|2^x^﹣¹＜8}，则A∩（∁_RB）=（）

A . {x|x≥4} B . {x|x＞4} C . {x|x≥﹣2} D . {x|x＜﹣2或x≥4}

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3. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则函数f（x）的值域为（）

A . [﹣1，+∞） B . （﹣1，+∞） C . [﹣ $\text{[math]}$ ，+∞） D . R

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4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）

A . 图1 B . 图2 C . 图3 D . 图4

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5. 公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图．若运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）（）

A . 48 B . 36 C . 30 D . 24

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6. 将函数f（x）=cos2x﹣sin2x的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数F（x）的图象，则下列说法正确的是（）

A . 函数F（x）是奇函数，最小值是 $\text{[math]}$ B . 函数F（x）是偶函数，最小值是 $\text{[math]}$ C . 函数F（x）是奇函数，最小值是﹣2 D . 函数F（x）是偶函数，最小值是﹣2

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 项式（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）¹⁰的展开式中， $\text{[math]}$ 项的系数是（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . 15 D . ﹣15

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9. 据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X（单位：万）服从正态分布X～N（6，0.8²），则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）
（P（|X﹣μ|＜σ）=0.6826，P（|X﹣μ|＜2σ）=0.9544，P（|X﹣μ|＜3σ）=0.9974）

A . 0.6826 B . 0.9544 C . 0.9974 D . 0.3413

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10. 球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的 $\text{[math]}$ ，且AB=2 $\text{[math]}$ ，AC⊥BC，则球O的表面积是（）

A . 81π B . 9π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设F₁、F₂是双曲线C： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）

A . $\text{[math]}$ x±y=0 B . x± $\text{[math]}$ y=0 C . x±2y=0 D . 2x±y=0

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12. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣k（ $\text{[math]}$ +lnx），若x=2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（　　）

A . （﹣∞，e] B . [0，e] C . （﹣∞，e） D . [0，e）

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足条件 $\text{[math]}$ ，则z=y﹣2x的最小值为．

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14. 若非零向量 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为．

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15. 已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2asinB= $\text{[math]}$ b，b=2，c=3，AD是角A的平分线，D在BC上，则BD=．

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16. 有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是．

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三、解答题

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅﹣2b₂=a₃ ．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令Cn= $\text{[math]}$ 设数列{c_n}的前n项和T_n ，求T_2n ．

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18. 某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：
贷款期限
6个月
12个月
18个月
24个月
36个月
频数
20
40
20
10
10
以上表中各种贷款期限的频数作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率．
（Ⅰ）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；
（Ⅱ）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元．

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19. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，AA₁⊥底面ABCD，E为B₁D的中点．
（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角D﹣AE﹣C为60°，AA₁=AB=1，求三棱锥C﹣AED的体积．

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20.
如图，在矩形ABCD中，|AB|=4，|AD|=2，O为AB中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足① $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，②直线AQ与BP的交点在椭圆E： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）上．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=x²e^ax ．
（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=2e^x﹣ $\text{[math]}$ ，求证：当a=1，对∀x∈（0，1），g（x）﹣xf（x）＞2恒成立．

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22. 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ²（1+3sin²θ）=4，曲线C₂： $\text{[math]}$ （θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C₁的直角坐标方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）极坐标系中两点A（ρ₁ ， θ₀），B（ρ₂ ， θ₀+ $\text{[math]}$ ）都在曲线C₁上，求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值．

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23. 解答题
（Ⅰ）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}，求a的值；
（Ⅱ）已知实数a，b，c∈R₊ ，且a+b+c=m，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．

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