河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期理数期中考试试卷

更新时间：2019-12-25 浏览次数：283 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 3

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 0 B . 3 C . 4 D . 7

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4. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $\text{[math]}$ ，则输入的 $\text{[math]}$ 值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在棱长为2的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P，Q，R分别为棱AA₁ ， BC，C₁D₁的中点，经过P，Q，R三点的平面为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 被此正方体所截得截面图形的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知偶函数 $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 恒成立，若 $\text{[math]}$ 真，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F₁ ， F₂ ，虚轴的一个端点为A，若△AF₁F₂是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 有三个不等实数根 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . （2，＋∞） B . [2，＋∞） C . （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） D . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

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11. 已知数列{ $\text{[math]}$ }满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0 B . 1 C . 1010² D . 1010¹⁰¹⁰

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12. 菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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14. 已知数列{ $\text{[math]}$ }的通项公式为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是该数列的最大项和最小项，则i＋j＝．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得最小值，则 $\text{[math]}$ 的最小值为，此时 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知点P是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，点Q是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，则｜PH｜＋｜PQ｜的最小值为．

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三、解答题

17. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝ $\text{[math]}$ ，AD＝ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求边BC的长；
2. （2）求△ABD内切圆半径．
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19. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正三角形， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点P（2，2）．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）过点Q（1，－1）的直线与椭圆C相交于M，N两点（与点P不重合），试判断点P与以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上仅有2个零点．
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程和直线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为正数且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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