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上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期数学期中质量调研...

更新时间：2019-12-19 浏览次数：281 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ” 是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 非充分非必要条件

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2. 某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知二面角 $\text{[math]}$ 是直二面角， $\text{[math]}$ 为直线， $\text{[math]}$ 为平面，则下列命题中真命题为（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 记有限集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，对于非空有限集合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列结论：①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中至少有个是空集；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；其中正确结论的个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

5. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是.

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6. 方程 $\text{[math]}$ 的解为.

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7. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角等于．

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8. 已知角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ (始边为 $\text{[math]}$ 轴正半轴)，则 $\text{[math]}$ .

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9. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项等于.（结果用数值表示）

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10. 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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11. 已知幂函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，则它的反函数 $\text{[math]}$ 为.

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12. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有种.（用数值表示）

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13. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ 、面积为 $\text{[math]}$ ，则该圆锥的体积为.

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14. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值等于.

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15. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：①偶函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）上的取值范围与在区间 $\text{[math]}$ 上的取值范围是相同的；②周期函数 $\text{[math]}$ 在一个周期内的取值范围也就是 $\text{[math]}$ 在定义域上的值域，由此可求函数 $\text{[math]}$ 的值域为.

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16. 定义在实数集 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

17. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，去掉三棱锥 $\text{[math]}$ 得到一个多面体 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求多面体 $\text{[math]}$ 的体积；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小.
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18. 《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本 $\text{[math]}$ （元）与每月分类处理量 $\text{[math]}$ （吨）之间的函数关系式可近似表示为 $\text{[math]}$ ，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益.
1. （1）该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；
2. （2）要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？
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19. 已知 $\text{[math]}$ 是实常数，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证：函数 $\text{[math]}$ 是减函数；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，井说明理由.
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20. 如图是函数 $\text{[math]}$ 一个周期内的图象，将 $\text{[math]}$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象.
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的所有可能的值；
3. （3）求函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正常数）在区间 $\text{[math]}$ 内的所有零点之和.
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21. 对于定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，如果存在两条平行直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，使得对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，那么称函数 $\text{[math]}$ 是带状函数，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的最小距离 $\text{[math]}$ 存在，则称 $\text{[math]}$ 为带宽.
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
2. （2）求证：函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）是带状函数；
3. （3）求证：函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）为带状函数的充要条件是 $\text{[math]}$ .
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