2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）

更新时间：2017-08-31 浏览次数：458 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合A={x|（x﹣6）（3x+8）＜0}，B={x|y= $\text{[math]}$ }，则A∩B等于（）

A . [﹣1，6） B . （﹣1，6） C . （﹣ $\text{[math]}$ ，﹣1] D . （﹣ $\text{[math]}$ ，﹣1）

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2. 已知实数a，b满足（a+2i）•bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知函数f（x）=2cos（ωx+ $\text{[math]}$ π）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）

A . x= $\text{[math]}$ B . x= $\text{[math]}$ C . x= $\text{[math]}$ π D . x=π

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4. 已知P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），P₃（x₃ ， y₃），P₄（x₄ ， y₄）是抛物线C：y²=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF₁|+|PF₂|+|PF₃|+|PF₄|=20，则x₁+x₂+x₃+x₄等于（）

A . 8 B . 10 C . 12 D . 16

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5. 已知各项均不相等的等比数列{a_n}中，a₂=1，且 $\text{[math]}$ a₁ ， a₃ ， $\text{[math]}$ a₅成等差数列，则a₄等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 49 C . $\text{[math]}$ D . 7

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6. 如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log₂（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）

A . （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B . （﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞） C . （﹣2，2） D . （﹣4，4）

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8. 名著《算学启蒙》中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”．这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍．”．为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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9. （x²﹣ $\text{[math]}$ +y）⁵的展开式中，含x³y²的项的系数为（）

A . 60 B . ﹣60 C . 80 D . ﹣80

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10. 一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中α为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）

A . 2或3 B . 2 $\text{[math]}$ 或3 C . 1或3 D . 2或2 $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，第二象限的点P（x₀ ， y₀）满足bx₀+ay₀=0，若线段PF₂的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 如果x₀是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x₀是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax²+1+lnx在（ $\text{[math]}$ ，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ，0） B . [﹣ $\text{[math]}$ ，0）∪{ $\text{[math]}$ e} C . [﹣ $\text{[math]}$ ，0） D . [﹣ $\text{[math]}$ ，0]

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二、填空题

13. 面积为4 $\text{[math]}$ 的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =．

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14. 已知实数x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=x﹣3y的最大值为．

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15. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=1，a_n₊₁= $\text{[math]}$ ，则S_3n=．

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16. 三棱锥D﹣ABC中，AB=CD= $\text{[math]}$ ，其余四条棱均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．
1. （1）若c= $\text{[math]}$ a，求A的大小；
2. （2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．
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18. 已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．
1. （1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的[80，90）上的学生人数；
2. （2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）；
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19. 如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．
1. （1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；
2. （2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．
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20. 已知椭圆： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，圆x²+y²﹣2y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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21. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣ax．
1. （1）若a= $\text{[math]}$ ，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
2. （2）若关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a，b的值．
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22. 已知直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （ t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的坐标方程是ρsin²θ﹣6cosθ=0．
1. （1）求曲线 C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；
2. （2）求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值．
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23. 已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．
1. （1）解不等式：f（x）＞15；
2. （2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．
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