2017年广西桂林市、崇左市高考数学一模试卷（理科）

更新时间：2017-04-06 浏览次数：450 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合A={x∈N|1＜x＜log₂k}，集合A中至少有2个元素，则（）

A . k≥4 B . k＞4 C . k≥8 D . k＞8

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2. 复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ i C . 1 D . i

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3. (2016高二上·福州期中) 等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，且S₉=a₄+a₅+a₆+72，则a₃+a₇=（）

A . 22 B . 24 C . 25 D . 26

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4. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R²如下，其中拟合效果最好的为（　　）

A . 模型①的相关指数为0.976 B . 模型②的相关指数为0.776 C . 模型③的相关指数为0.076 D . 模型④的相关指数为0.351

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5.
一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图可能是（）

①长、宽不相等的长方形 ②正方形 ③圆 ④椭圆．

A . ①② B . ①④ C . ②③ D . ③④

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6. 若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（　　）

A . 2f（1）＜f（2） B . 2f（1）＞f（2） C . 2f（1）=f（2） D . f（1）=f（2）

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7. 在如图所示的矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为线段BC上的点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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8.
若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如11=4（mod7），如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n=（）

A . 14 B . 15 C . 16 D . 17

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9. 已知ω＞0，在函数y=sinωx与y=cosωx的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=（）

A . 1 B . 2 C . π D . 2π

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10. 过正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点A的平面α与平面CB₁D₁平行，设α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB₁A₁=n，那么m，n所成角的余弦值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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11. 已知函数y=2|x|﹣4的图象与曲线C：x²+λy²=4恰有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . （﹣∞，﹣ $\text{[math]}$ ]∪（0， $\text{[math]}$ ） D . （﹣∞，﹣ $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，+∞）

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12. 已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log₂x|，g（x）=（ $\text{[math]}$ ）^x ，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x+y的最小值为．

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14. 在（1+x）⁵+（1+x）⁶+（1+x）⁷的展开式中，x⁶的系数等于．

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15. 如果直线ax+by+1=0被圆x²+y²=25截得的弦长等于8，那么 $\text{[math]}$ 的最小值等于．

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16. 一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos² $\text{[math]}$ +acos² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ c．

（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= $\text{[math]}$ ，△ABC的面积为2 $\text{[math]}$ ，求c．

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18. 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
合计
24
26
50
（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．
参考公式与临界值表：K²= $\text{[math]}$ ．
p（K²≥k₀）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k₀
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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19.
如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁ ， ∠BAA₁=60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）过点P（1， $\text{[math]}$ ），离心率为 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，记△F₁MN的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线l的方程，并求出最大值．

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21. 设函数f（x）=lnx，g（x）=lnx﹣x+2．
1. （1）求函数g（x）的极大值；
2. （2）若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，试比较f（tanα）与﹣cos2α的大小，并说明理由．
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22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为： $\text{[math]}$ （t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
1. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
2. （2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．
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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|．
1. （1）解不等式f（x）≥8；
2. （2）若不等式f（x）＜a²﹣3a的解集不是空集，求实数a的取值范围．
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