2016-2017学年江苏省扬州市高三上学期期中数学试卷

更新时间：2017-01-10 浏览次数：448 类型：期中考试

一、<b >填空题</b>

1. sin240°=．

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2. 复数z=i（1﹣i）的虚部为．

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3. 抛物线x²=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣ $\text{[math]}$ ，则抛物线方程为．

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4. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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5. 已知平行直线l₁：x﹣2y﹣2=0，l₂：2x﹣4y+1=0，则l₁与l₂之间的距离为．

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6. 若实数x，y满足条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=x+2y的最大值为．

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7. 已知向量 $\text{[math]}$ =（1，m+1）， $\text{[math]}$ =（m，2），则 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 的充要条件是m=．

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8. 已知tan（α+ $\text{[math]}$ ）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．

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9. 已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．

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10. 已知圆C：x²+y²﹣4x﹣2y﹣20=0，直线l：4x﹣3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则△ABD面积的最大值为．

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11. 若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得 $\text{[math]}$ 取得最小值的实数a=．

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12. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣kx无零点，则实数k的取值范围是．

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13. 双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y= $\text{[math]}$ x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．

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14. 已知函数f（x）=x（1﹣a|x|）+1（a＞0），若f（x+a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．

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二、<b >解答题</b>

15. 已知函数f（x）=2cos（ $\text{[math]}$ ﹣x）sinx+（sinx+cosx）² ．
1. （1）求函数f（x）的单调递增区间；
2. （2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. 函数f（x）=log₃（x²+2x﹣8）的定义域为A，函数g（x）=x²+（m+1）x+m．
1. （1）若m=﹣4时，g（x）≤0的解集为B，求A∩B；
2. （2）若存在 $\text{[math]}$ 使得不等式g（x）≤﹣1成立，求实数m的取值范围．
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17. 已知圆M：x²+y²﹣2x+a=0．
1. （1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
2. （2）若AB为圆M的任意一条直径，且 $\text{[math]}$ =﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．
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18. 如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心．在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2．
1. （1）求sin∠ABC的大小；
2. （2）设∠ADB=θ，试确定θ的大小，使得运输总成本最少．
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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q．若 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k'，求证： $\text{[math]}$ 为定值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且△APQ的面积为 $\text{[math]}$ ，求椭圆C的方程．
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20. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ +x．
1. （1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；
2. （2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
3. （3）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．
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21. 已知矩阵M= $\text{[math]}$ 的一个特征值为4，求实数a的值．

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22. 某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：
班别
高一（1）班
高一（2）班
高一（3）班
人数
3
6
1
若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

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23. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．
1. （1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；
2. （2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．
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24. 已知集合A={a₁ ， a₂ ， …，a_m}．若集合A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n=A，则称A₁ ， A₂ ， A₃ ， …，A_n为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）．
1. （1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
2. （2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）关于n的表达式．
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