如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（4，4），反比例函数的图象经过线段BC的中点D，交正方形OABC的另一边AB于点E．

1. (2018九上·江苏期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（4，4），反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过线段BC的中点D，交正方形OABC的另一边AB于点E．
1. （1）求k的值；
3. （2）如图①，若点P是x轴上的动点，连接PE，PD，DE，当△DEP的周长最短时，求点P的坐标；
5. （3）如图②，若点Q（x，y）在该反比例函数图象上运动（不与D重合），过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，作QN⊥BC所在直线，垂足为N，记四边形CMQN的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

能力提升真题演练换一批

1. (2022九上·萧山月考) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ：
1. （1）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围．
2. （2）当二次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ 时，确定m的值，并求出此二次函数与坐标轴的交点坐标．
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2. (2021九上·淮北月考) 如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为80m，从建筑物AB的顶部A点测得建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为69°．
1. （1）求两建筑物底部之间的水平距离BD；
2. （2）求建筑物CD的高度；（精确到1m，参考数据：sin 69°≈0.93、cos69°≈0.36、tan 69°≈2.70、 $\text{[math]}$ ≈1.73）
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3. (2021九上·海珠期中) 如图，等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点D、E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形；
2. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），设直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点F．
  
  ①如图，当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当B，D，E三点共线时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2018·岳阳) 图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
1. （1）求点M到地面的距离；
2. （2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： $\text{[math]}$ 1.73，结果精确到0.01米）
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2. (2016·贵港)
如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
1. （1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
  ①求证：△AGE≌△AFE；
  ②若BE=2，DF=3，求AH的长．
2. （2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
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3. (2021·南通) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点F，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
2. （2）过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为G，连接 $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
3. （3）将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点E的对应点为点H，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值.
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