某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A，B，C，D四地，如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少

1. (2017·琼山模拟) 某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A，B，C，D四地，如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， $\text{[math]}$ ）

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2023·南岳模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

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2. (2022·泗阳模拟) 如图，在⊙O中，AC $\text{[math]}$ OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数.

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3. (2022·福建) 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：∠A＝∠D.

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1. (2022·山西模拟) 某校“综合与实践”小组来到太原文瀛公园进行参观研学，对人民革命烈士纪念碑的高度进行了实地测量．项目操作如下：如图，测角仪的高度 $\text{[math]}$ 米，他们分别在点C和点D处测得纪念碑顶端A的仰角分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 米，A，E，C，B，F，D，G在同一竖直平面内，且E，F，G在同一条水平线上，C，B，D在同一条水平线上，求纪念碑 $\text{[math]}$ 的高度．（结果精确到0.1米， $\text{[math]}$ ）

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2. (2022·榆林模拟) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD.

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3. (2021·曹县模拟) 如图，为测量楼CD的高度，从楼AB的顶点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°，底部C的俯角为30°，已知楼AB的高为30米，求楼CD的高度．

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1. (2022·呈贡模拟) 如图，在正方形ABCD中，以点B，C为圆心，BC为半径作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两弧相交于点E，若AB＝2，则阴影部分的面积为．

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2. (2021·金华) 某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）

如图，已知直线 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

请完成下面的说理过程.

解：已知 $\text{[math]}$ ，

根据（内错角相等，两直线平行），得 $\text{[math]}$ .

再根据（ ※ ），得 $\text{[math]}$ .

A . 两直线平行，内错角相等 B . 内错角相等，两直线平行 C . 两直线平行，同位角相等 D . 两直线平行，同旁内角互补

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3. (2022·临邑模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到E，在 $\text{[math]}$ 内作射线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为F，若 $\text{[math]}$ ，则对角线 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2021九上·岳阳期末) 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接BD，AC，直线BD交AC于点E，交OA于点F.
1. （1）特例发现：如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .推断：
  ① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的度数为.
2. （2）探究证明：如图2，若 $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由.
3. （3）拓展延伸：在（2）的条件下：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  ①将 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转，使点D与点E第一次重合，如图3，此时 $\text{[math]}$ ，求OC的长；
  
  ②在点D与点E第一次重合后，若将①重得到的 $\text{[math]}$ 继续顺时针旋转，当点D在 $\text{[math]}$ 内部时，如图4，线段BE的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由.
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2. (2021·青白江模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，O是对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点， $\text{[math]}$ ，垂足为点E，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2023七下·江都期中) 如图1，已知两条直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 所截，分别交于点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 是否平行，并说明理由；
2. （2）如图2，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
  
  ②当点 $\text{[math]}$ 在运动过程中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
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1. (2022·遂宁) 如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上.若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 .

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2. (2022·滨州) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若点E是边AD上的一个动点，过点E作 $\text{[math]}$ 且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中， $\text{[math]}$ 的最小值为．

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3. (2021·嘉兴) 能说明命题“若x为无理数，则x²也是无理数”是假命题的反例是（）

A . x＝ $\text{[math]}$ ﹣1 B . x＝ $\text{[math]}$ +1 C . x＝3 $\text{[math]}$ D . x＝ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$

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