已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.

1. (2024高三下·三台月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的渐近线上，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的左顶点，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，证明：线段 $\text{[math]}$ 的中点为定点.