如图，抛物线经过，两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．

1. (2024·新市区模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，并交 $\text{[math]}$ 轴于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·瑞金模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）交于A、B两点，已知点A(m，2)，点B(－1，－4)．
1. （1）求直线和双曲线的解析式；
2. （2）把直线y₁沿x轴负方向平移2个单位后得到直线 y₃ ，直线y₃与双曲线y₂交于D、E两点，当y₂＞y₃时，求x 的取值范围．
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2. (2022·五通桥模拟) 如图1，在平面直角坐标系中，经过点D（﹣2，m）的抛物线y＝ax²+bx+4与x轴交于A（2，0），B（点B在点A的左侧）两点，AD交y轴正半轴于点E，过点D作DC⊥x轴于点C，AC＝DC.
1. （1）求抛物线的表达式.
2. （2）连接BE交DC于点Q，抛物线上存在点P，满足PB＝PE，求点P的坐标.
3. （3）如图2，M，N分别是线段DC，AC上的点，且∠MEN＝45°，连接MN，若△MCN中有一个锐角的正切值为2，直接写出S_△DME的值.
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3. (2022·宁波) 如图，正比例函数y= $\text{[math]}$ x的图象与反比例函数y= $\text{[math]}$ (k≠0)的图象都经过点A(a，2)．
1. （1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
2. （2）若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
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1. (2021·吉林) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与反比例函数 $\text{[math]}$ 在第一象限内的图象相交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求反比例函数的解析式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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2. (2021·鞍山) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线l： $\text{[math]}$ 于点E ， AP交DE于点F ，交y轴于点Q ．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
3. （3）连接BQ ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且 $\text{[math]}$ ，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
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3. (2022·遵义) 新定义：我们把抛物线 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）与抛物线 $\text{[math]}$ 称为“关联抛物线”.例如：抛物线 $\text{[math]}$ 的“关联抛物线”为： $\text{[math]}$ .已知抛物线 $\text{[math]}$ 的“关联抛物线”为 $\text{[math]}$ .
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点M，N.
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求点a的坐标；
  ②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为 $\text{[math]}$ ，求a的值.
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