已知椭圆的离心率为，是椭圆的左右焦点，为椭圆上的一个动点，且面积的最大值为．

1. (2023高三上·南京期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点， $\text{[math]}$ 为椭圆上的一个动点，且 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 作与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，第一象限点 $\text{[math]}$ 在椭圆上且满足 $\text{[math]}$ 轴，连接 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，探索 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是求出；若不是说明理由．