【问题提出】如图1，在中，，点E，F分别为边AC，BC的中点，将绕点C顺时针旋转，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？

1. (2023·曾都模拟) 【问题提出】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边AC，BC的中点，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接AE，BF，试探究AE，BF之间存在怎样的数量关系和位置关系？
1. （1）【特例探究】若 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图2的位置，直线BF与AE，AC分别交于点M，N．按以下思路完成填空（第一个空填推理依据，第二个空填数量关系，第三个空填位置关系）：
  ∵ $\text{[math]}$ ， E，F分别为AC，BC的中点，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ （）
  ∴AEBF， $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ，
  ∴AEBM．
3. （2）【猜想证明】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转至图3的位置，直线AE与BF，BC分别交于点M，N，猜想AE与BF之间的数量关系与位置关系，并就图3所示的情况加以证明；
5. （3）【拓展运用】若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直线AE，BF相交于点M，当以点C，E，M，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出BM的长．