【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：已知：如图1，的外角和的平

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1. (2023·光明模拟)

【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：
已知：如图1， $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点F．
求证：点F在 $\text{[math]}$ 的平分线上．
某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：
如图2，过点F作 $\text{[math]}$ 于点G，作 $\text{[math]}$ 于点H，作 $\text{[math]}$ 于点M，由角平分线的性质定理可得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴F在 $\text{[math]}$ 的平分结上．

【探究】
1. （1）小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：；
3. （2）小明也发现 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：；
5. （3）如图3，边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）如图4， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 的顶点D放在 $\text{[math]}$ 边的中点处，边 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点G，边 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ．现将 $\text{[math]}$ 绕着点D旋转，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的周长是否发生变化？若不变，求出 $\text{[math]}$ 的周长，若改变，请说明理由．

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