如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．

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1. (2017·安徽模拟) 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
1. （1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
3. （2）若cosB= $\text{[math]}$ ，BP=6，AP=1，求QC的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·泰州) 如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒
1. （1）如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
2. （2）在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值.
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2. (2023·梅州模拟) 如题图所示，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以A为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点E，且该圆弧恰好经过点B，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
2. （2）求阴影部分面积．（计算结果保留 $\text{[math]}$ ）
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3. (2023·烈山模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 相交于点A ，与x轴交于点B ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）若点C在双曲线上，且 $\text{[math]}$ ，求点C的坐标．
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1. (2022·苏州) 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
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2. (2021·烟台) 如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
  ① $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点D；
  
  ②作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O；
  
  ③以点O为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径画圆，交边 $\text{[math]}$ 于点M．
2. （2）在（1）的条件下求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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3. (2022·北京市) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条弦， $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证：直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线．
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