如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．

1. (2017·兰州)
如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．
1. （1）求证：△BDF是等腰三角形；
3. （2）
  如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
  ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
  ②若AB=6，AD=8，求FG的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·北京市模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，给出如下定义：若点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在图形 $\text{[math]}$ 上，如果 $\text{[math]}$ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $\text{[math]}$ 的“近距离”，记为 $\text{[math]}$ ．特别地，当图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 有公共点时， $\text{[math]}$ ．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
1. （1） d（点A，点C）＝，d（点A，线段BD）＝；
2. （2） ⊙O半径为r，
  ① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
  ② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝ ▲ ．
3. （3） M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
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2. (2022·桂林) 如图，抛物线y＝﹣x²+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动.
1. （1）直接写出A，B，C三点的坐标；
2. （2）求CP+PQ+QB的最小值；
3. （3）过点P作PM⊥y轴于点M，当 $\text{[math]}$ CPM和 $\text{[math]}$ QBN相似时，求点Q的坐标.
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3. (2021·绍兴) 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
1. （1）转动连杆BC，手臂CD，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $\text{[math]}$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.
2. （2）物品在操作台 $\text{[math]}$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
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1. (2021·仙桃) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 直径，D为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点C，交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长.
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2. (2021·资阳) 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.
1. （1）求证：DE是⊙O的切线；
2. （2）若AC＝6，tanE＝ $\text{[math]}$ ，求AF的长.
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3. (2021·苏州) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平行于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，它们相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）四边形 $\text{[math]}$ 的面积四边形 $\text{[math]}$ 的面积（填“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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