已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．

1. (2017·兰山模拟)
已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．
1. （1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是.
3. （2）
  如图2，
  
  若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
5. （3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数系．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·广安) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ 的图象在第一象限交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求一次函数和反比例函数的解析式．
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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2. (2022·彭山模拟) 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.
1. （1）求证：DH是⊙O的切线；
2. （2）若点A为EH的中点，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径.
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3. (2021·洪洞模拟) 综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D ，交直线AC于点E ，连接BE ．
1. （1）求直线AC的表达式；
2. （2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？
3. （3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2021·郴州) 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB.
1. （1）证明：△AHB≌△AGC；
2. （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q.
  ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
  
  ②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？
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2. (2022·恩施) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）直接写出抛物线的解析式.
2. （2）如图，将抛物线 $\text{[math]}$ 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C.判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.
3. （3）直线BC与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.
4. （4）若将抛物线 $\text{[math]}$ 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线 $\text{[math]}$ 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.
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3. (2022·巴中) 四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，直径 $\text{[math]}$ 与弦 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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