阅读材料题：浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.

1. (2019九上·诸暨月考) 阅读材料题：

浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长.
1. （1）小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为.
3. （2）【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB= $\text{[math]}$ ，求∠APB的大小.
5. （3）【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长.

能力提升真题演练换一批

1. (2023九上·深圳月考) [知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
1. （1） [问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a ， BC＝b ，则可求得AC²＋BD²＝；（用a、b的式子表示）
2. （2） [问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC²＋BD²＝2（AB²＋BC²）；
3. （3） [问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8，（AB－AC）²＝10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值．
答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2024九上·防城期末) 【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线，点E是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E和B作等腰直角 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点P.
请完成：
1. （1）试判断图1中的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系；
2. （2）当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ .
3. （3）【类比操作】如图2，当点P在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时. $\text{[math]}$ 是否还成立?请判断并证明你的结论.
答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2023九上·光明开学考) 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E ，交直线BC于点F ．
1. （1）【探索发现】
  如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF ， BD ， AB之间的数量关系为；
2. （2）【拓展提升】
  如图②，若点D在线段AB上（不与点A ， B重合），试猜想CF ， BD ， AB之间的数量关系，并说明理由；
3. （3）【灵活应用】
  当AB＝3， $\text{[math]}$ 时，直接写出线段BD的长为．
答案解析收藏纠错 + 选题

1. (2022·黔东南) 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
求证：以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形是钝角三角形.
1. （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接 $\text{[math]}$ ，根据已知条件，可以证明 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而得出 $\text{[math]}$ 为钝角三角形，故以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形是钝角三角形.
  请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.
2. （2）【拓展迁移】如图，四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 都是正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.
  ①试猜想：以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边的三角形的形状，并说明理由.
  ②若 $\text{[math]}$ ，试求出正方形 $\text{[math]}$ 的面积.
答案解析收藏纠错 + 选题
2. (2022·潍坊)
1. （1）【情境再现】
  甲、乙两个含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接 $\text{[math]}$ ，如图③所示， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，通过证明 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ．
  请你证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）【迁移应用】
  延长 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系．
3. （3）【拓展延伸】
  小亮将图②中的甲、乙换成含 $\text{[math]}$ 角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接 $\text{[math]}$ ，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．
答案解析收藏纠错 + 选题
3. (2022·镇江) 操作探究题
1. （1）已知 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是正整数，且 $\text{[math]}$ 不是3的倍数）是半圆 $\text{[math]}$ 的一个圆心角．
  操作：如图1，分别将半圆 $\text{[math]}$ 的圆心角 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
  
  交流：当 $\text{[math]}$ 时，可以仅用圆规将半圆 $\text{[math]}$ 的圆心角 $\text{[math]}$ 所对的弧三等分吗？
  
  探究：你认为当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆 $\text{[math]}$ 的圆心角 $\text{[math]}$ 所对的弧三等分？说说你的理由．
2. （2）如图2， $\text{[math]}$ 的圆周角 $\text{[math]}$ ．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧 $\text{[math]}$ （要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
答案解析收藏纠错 + 选题