小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m，宽AD=2m，点O、E分别为AB、CD的中点，以AB、OE所在的直线建立平面直角坐标系。

1. (2019八下·温岭期末) 小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m，宽AD=2m，点O、E分别为AB、CD的中点，以AB、OE所在的直线建立平面直角坐标系。
1. （1）如图1，M为BC上一点；
  ①小明要将一球从点M击出射向边AB，经反弹落入D袋，请你画出AB上的反弹点F的位置；
  ②若将一球从点M(2，1.2)击出射向边AB上点F(0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由
3. （2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ的端点M在AD中点上且MQ⊥AD，MQ=2m，挡板EH的端点H在边BC上滑动，且挡板EH经过DC的中点E；
  ①小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，当H是BC中点时，试证明：DN=BN；
  
  ②如图3，小明把球从B点击出，依次经挡板EH和挡板MQ反弹一次后落入D袋，已知∠EHC=75°，请你直接写出球的运动路径BN+NP+PD的长。

能力提升真题演练换一批

1. (2023八下·射阳月考) 问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
1. （1）猜想证明：
  ①试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
  ②如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
2. （2）解决问题：
  如图①，若AB＝4，当BE的长为时，△ADE为等腰三角形，请直接写出结果．
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2. (2023八下·惠东期末) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ ，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点C．
1. （1）求出点A、点B的坐标；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）在x轴上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．
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3. (2023八下·船营期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（-2，4），且与正比例函数y＝- $\text{[math]}$ x的图象交于点B（m，2）.
1. （1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
2. （2）若直线AB与x轴交于点C，若连接AO后，则△OAB的面积是．
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1. (2022·长沙) 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为 $\text{[math]}$ 的斜坡，坡角 $\text{[math]}$ 于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该斜坡的高度BD；
2. （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
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2. (2022·武威) 已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）【建立模型】如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【模型应用】如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
  ①判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
  
  ②若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）【模型迁移】如图3， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
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3. (2021·资阳) 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.
1. （1）求证：DE是⊙O的切线；
2. （2）若AC＝6，tanE＝ $\text{[math]}$ ，求AF的长.
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