如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E

1. (2019·盐城) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E
1. （1）若⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ，AC＝6，求BN的长；
3. （2）求证：NE与⊙O相切.

能力提升真题演练换一批

1. (2022·广东模拟) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
1. （1）求证：点E是边BC的中点；
2. （2）求证：BC²=BD·BA；
3. （3）当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．
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2. (2021·铜仁) 如图，已知 $\text{[math]}$ 内接干 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径和 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2022·杭州模拟) 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的长.
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1. (2021·临沂) 如图，已知在⊙O中， $\text{[math]}$ ，OC与AD相交于点E．求证：
1. （1） AD∥BC
2. （2）四边形BCDE为菱形．
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2. (2022·永州) 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示）， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）.
方案一：如图2所示，沿正方形 $\text{[math]}$ 的三边铺设水管；

方案二：如图3所示，沿正方形 $\text{[math]}$ 的两条对角线铺设水管.
1. （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短：
2. （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），
  满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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3. (2022·淮安) 如图，已知线段 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ .
1. （1）用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
  ①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；
  
  ②以线段 $\text{[math]}$ 为对角线，作矩形 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，并且点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的上方.
2. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求（1）中所作矩形 $\text{[math]}$ 的面积.
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