如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．

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1. (2019·本溪模拟) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
1. （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
3. （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3 $\text{[math]}$ ，DF=3，求图中阴影部分的面积．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·济宁模拟) 如图所示，等腰△ABC，BA＝BC， AD⊥BC．
1. （1）过点B作∠ABD的平分线交AD于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
2. （2）在（1）的条件下，已知AD＝BD ，求证BE＝AC．
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2. (2021·韶关模拟) 如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．
1. （1）求证：直线BD是⊙O的切线；
2. （2）求⊙O的半径OD的长；
3. （3）求线段BM的长．
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3. (2022·灞桥模拟) 如图①，已知抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A（4，0），C（0，2），与x轴的另一个交点为B.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图②，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC'，试判断四边形BC'AC的形状，并证明你的结论.
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1. (2022·宜宾) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点为点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）在抛物线的对称轴上取一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，使得以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点、 $\text{[math]}$ 为边的四边形为平行四边形，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在（2）的条件下，将点 $\text{[math]}$ 向下平移5个单位得到点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线的对称轴上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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2. (2021·衡阳) 如图， $\text{[math]}$ 的顶点坐标分别为 $\text{[math]}$ ，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动.过点Q作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点M、N，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .设运动时间为t（秒）.
1. （1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
2. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值或最小值；
3. （3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形 $\text{[math]}$ 的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
4. （4）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点N到 $\text{[math]}$ 的距离.
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3. (2022·武汉) 如图，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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