如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．

1. (2018·无锡模拟) 如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．
1. （1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
3. （2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；
5. （3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·姑苏模拟) 图1是一辆在平地上可以滑行的某品牌纯电动滑板车，图2是其示意图.已知车杆AB=74cm，BC=20cm，∠ABC=130°，∠BCE=120°，前、后轮子的圆心分别为点D、E，半径均6cm，且D、C、E在同一水平线上.求把手A离地面的高度.（结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ≈1.7， sin70°≈0.94 ，cos70°≈0.34，tan70≈2.75）

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2. (2021·山西) 综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；
独立思考：
1. （1）请解答老师提出的问题；
2. （2）实践探究：
  希望小组受此问题的启发，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；
3. （3）问题解决：
  智慧小组突发奇想，将 $\text{[math]}$ 沿过点 $\text{[math]}$ 的直线折叠，如图③，点A的对应点为 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．该小组提出一个问题：若此 $\text{[math]}$ 的面积为20，边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\text{[math]}$ ）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
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3. (2021·兴化模拟) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心为点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标，并求 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）.
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1. (2022·湘潭) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，0），C（﹣2，2），将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A₁B₁C₁ ．
1. （1）请写出A₁、B₁、C₁三点的坐标：
  A₁，B₁，C₁；
2. （2）求点B旋转到点B₁的弧长．
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2. (2022·郴州) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴相交于点C.
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
  ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；
  
  ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.
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3. (2019·吉林) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 同时出发，点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动；点 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度沿折线 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动．设点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ ，在运动过程中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 经过的路线与线段 $\text{[math]}$ 围成的图形面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ °；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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