如图，是等腰三角形，，以为直径的⊙ 与交于点，，垂足为，的延长线与的延长线交于点．

1. (2018九上·通州期末) 如图， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的⊙ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若⊙ $\text{[math]}$ 的半径为2， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

能力提升真题演练换一批

1. (2021九上·哈尔滨月考) △ABC内接于⊙O，弦CD⊥AB于点E，AF⊥BC于点F交弦CD于点G．
1. （1）如图1，求证：DE＝EG；
2. （2）如图2，连接BD、OF，若BD＝ $\text{[math]}$ FG，求证：FO平分∠AFC；
3. （3）如图3，在（2）的条件下，点H在线段CG上，连接FH，若∠CFH＝∠ABD，FH＝4 $\text{[math]}$ ，CG＝10，求线段OG的长．
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2. (2023九上·东阳期末) 在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝5，CF＝2，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处，如图1．
1. （1）求证：BE＝BF；
2. （2）点P为线段EF上一动点，过点P作PH⊥BE、PG⊥BF，以PH、PG为邻边构造平行四边形PHQG，如图2．
  ①求平行四边形PHQG的周长．
  ②当点P从点E运动到点F时，求出点Q的运动路径长．
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3. (2022九上·通州期中) 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D在BC上，AB＝1，BD＝2，CD＝3，CE＝6．
1. （1）求证：△ABD∽△DCE；
2. （2）求∠ADE的度数．
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1. (2022·资阳) 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道 $\text{[math]}$ 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东 $\text{[math]}$ 方向上，他沿西北方向前进 $\text{[math]}$ 米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西 $\text{[math]}$ 方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
1. （1）求点D与点A的距离；
2. （2）求隧道 $\text{[math]}$ 的长度．（结果保留根号）
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2. (2021·南县) 已知函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点A（x₁ ， y₁）在第一象限内的函数图象上.
1. （1）若点B（x₂ ， y₂）也在上述函数图象上，满足x₂＜x₁.
  ①当y₂＝y₁＝4时，求x₁ ， x₂的值；
  
  ②若|x₂|＝|x₁|，设w＝y₁﹣y₂ ，求w的最小值；
2. （2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.
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3. (2022·河南) 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内.当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果.
1. （1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°.
2. （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 $\text{[math]}$ .已知铁环⊙O的半经为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长.
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使用过本题的试卷

北京市通州区2018届九年级上学期数学期末考试试卷

1. (2018九上·通州期末) 如图， 是等腰三角形， ，以 为直径的⊙ 与 交于点 ， ，垂足为 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．

使用过本题的试卷