如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F．

1. (2017·黑龙江模拟) 如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F．
1. （1）如图1，求证：EF∥AC；
3. （2）如图2，OP⊥AO交BE于点P，交FE的延长线于点M．求证：△PME是等腰三角形；
5. （3）如图3，在（2）的条件下：CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，交AC于Q点，如图2，若sinF= $\text{[math]}$ ，EQ=5，求PM的值．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·河南模拟) 某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法，如图，过点C作直线l的平行线.作图过程如下：

第一步：在直线l上任意取两点A，B，连接AC，BC，且AC＞BC；

第二步：作△ABC的外接圆O；

第三步：以点A为圆心，CB长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点D，连接AD；

第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线.
1. （1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程.
  已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为弧AC上一点，且满足.求证：.
2. （2）聪聪认为，在△ABC中，若AC＝BC，过点C作直线l的平行线 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为⊙O的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由.
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2. (2022·武威) 已知正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）【建立模型】如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【模型应用】如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
  ①判断 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
  
  ②若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
3. （3）【模型迁移】如图3， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .
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3. (2021·牡丹江) 如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F ，过点F作FG⊥BC于点G ，连接AC ．易证：AC $\text{[math]}$ （EC＋FG）．（提示：取AB的中点M ，连接EM）
1. （1）当点E是BC边上任意一点时，如图②；当点E在BC延长线上时，如图③，请直接写出AC ， EC ， FG的数量关系，并对图②进行证明；
2. （2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF ，当△ABE中有一个内角为30°时，则AF的长为．
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1. (2022·舟山) 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD=BE=10cm，CD=CE=5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE=40°．
1. （1）连结DE，求线段DE的长．
2. （2）求点A、B之间的距离．
  (结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36．sin40°≈0.64．cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
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2. (2022·安顺) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求证四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；
3. （3）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（与端点不重合），且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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3. (2021·河南) 下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段.请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1，（1）分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）；（2）分别作线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；（3）作射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的平分线.简述理由如下：

由作图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线.

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是大麻烦了，可以改进如下，如图2.（1）分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）；（2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ；（3）作射线 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 即为 $\text{[math]}$ 的平分线.

……

任务：

（1）小明得出 $\text{[math]}$ 的依据是.（填序号）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ .
（2）小军作图得到的射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线吗？请判断并说明理由；
（3）如图3，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长.

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使用过本题的试卷

黑龙江省哈尔滨二十六中2017年中考数学模拟试卷（4月份）

1. (2017·黑龙江模拟) 如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作⊙O切线EF交BA的延长线于F．

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