定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式

1. 定义：对于一组关于 $\text{[math]}$ 的多项式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数 $\text{[math]}$ 时（不含字母 $\text{[math]}$ ），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数 $\text{[math]}$ 的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以多项式 $\text{[math]}$ 是一组黄金多项式，其黄金因子为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）小贤发现多项式 $\text{[math]}$ 是一组黄金多项式，其列式为 $\text{[math]}$ ，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子．
3. （2）若多项式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是有理数）是一组黄金多项式，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）若多项式 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为有理数）， $\text{[math]}$ 是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

能力提升真题演练换一批

1. (2022七下·西工期中) 【阅读材料】：∵ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ 的整数部分为2， $\text{[math]}$ 的小数部分为 $\text{[math]}$ .
【解决问题】：
1. （1）填空： $\text{[math]}$ 的小数部分是；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整数部分， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的小数部分，求代数式 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的整数部分， $\text{[math]}$ 是其小数部分，请直接写出 $\text{[math]}$ 的相反数.
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2. 定义一种新的运算 $\text{[math]}$ 其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时， $\text{[math]}$ ；当A 的次数等于 B的次数时， $\text{[math]}$ 的值为A，B的最高次项系数的商；当A的次数大于 B的次数时 $\text{[math]}$ 的值不存在.例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值.
2. （2）若 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值.
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3. (2023七下·镇海区期末) 定义：任意两个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，按规则 $\text{[math]}$ 运算得到一个新数 $\text{[math]}$ ，称所得的新数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“和积数”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“和积数” $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“和积数” $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“和积数” $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ 并计算 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2021·济宁) 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
1. （1）阅读材料
  立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
  
  例如，正方体 $\text{[math]}$ （图1）．因为在平面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点A ，所以直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的 $\text{[math]}$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角．
  
  解决问题
  
  如图1，已知正方体 $\text{[math]}$ ，求既不相交也不平行的两条直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小．
2. （2）如图2，M ， N是正方体相邻两个面上的点．
  ①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；
  
  ②在所选正确展开图中，若点M到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别是2和5，点N到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别是4和3，P是 $\text{[math]}$ 上一动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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2. (2022·四川) 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝ $\text{[math]}$ ，x₁x₂＝ $\text{[math]}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
1. （1）材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝；x₁x₂＝．
2. （2）类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 $\text{[math]}$ 的值．
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