综合与实践：问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在中，，．

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1. (2024九下·南宁月考) 综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．
探究发现：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）操作发现：将 $\text{[math]}$ 折叠，使边 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的对应点是点 $\text{[math]}$ ，折痕交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
  ① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
  ②设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
3. （2）进一步探究发现： $\text{[math]}$ ，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明： $\text{[math]}$ ．
5. （3）拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
  如图1中的 $\text{[math]}$ 是黄金三角形．
  如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求菱形较长对角线的长.

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